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Hallo,
ich kriege die Eigenschaften von Potenzreihen noch nicht so auseinander...
Also:
Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n} [/mm] eine Potenzeihe mit Konvergenzradius r, wobei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Reihe komplexer Zahlen und z [mm] \in \IC.
[/mm]
Ich habe in der Uni nun gelernt, dass gilt:
a) für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|<r konvergiert die Potenzreihe absolut.
Also konvergiert die Potenzreihe in ihrem Konvergenzkreis [mm] K_{r}=\{z\in \IC : |z|
b) für alle z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|=r kann man keine allgemeinen Konvergenzaussagen machen.
Nun lese ich aber in meinem Buch:
blablabla... [mm] K(r)=\{z\in \IC : |z|<=r\} [/mm] ... Dann konvergiert die Potenzreihe absolut und gleichmäßig auf K(r).
Das widersprich sich doch, oder??? Im K(r) sind ja auch alle z mit |z|=r enthalten und (s.o.) dafür kann man doch keine allgemeinen Konvergenzaussagen machen. Irgendwie verstehe ich das nicht.
Zur gleichmäßigen Konvergenz: gegen welche Funktion konvergiert sie denn?
Und dann noch etwas aus dem Buch:
"Der Limes einer Potenzreihe stellt eine im Innern des Konvergenzkreises stetige Funktion dar." Dabei ist die Bemerkung zum folgenden Satz:
Eine Grenzfunktion einer Funktionenfolge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen die Grenzfunktion konvergiert, ist auch stetig.
Wirklich, ich habe keine Ahnung wie ich mir das mit dem Satz erklären soll.... und was meinen sie mit "Limes einer Potenzreihe"?
Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte.
gruß, dancingestrella
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Hallo.
> ich kriege die Eigenschaften von Potenzreihen noch nicht so
> auseinander...
> Also:
> Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}[/mm] eine Potenzeihe mit
> Konvergenzradius r, wobei [mm](a_{n})[/mm] eine Reihe komplexer
> Zahlen und z [mm]\in \IC.
[/mm]
>
> Ich habe in der Uni nun gelernt, dass gilt:
> a) für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit |z|<r konvergiert die
> Potenzreihe absolut.
> Also konvergiert die Potenzreihe in ihrem Konvergenzkreis
> [mm]K_{r}=\{z\in \IC : |z|
> b) für alle z [mm]\in \IC[/mm] mit |z|=r kann man keine allgemeinen
> Konvergenzaussagen machen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit absolut in Ordnung!
> Nun lese ich aber in meinem Buch:
> blablabla... [mm]K(r)=\{z\in \IC : |z|<=r\}[/mm] ... Dann
> konvergiert die Potenzreihe absolut und gleichmäßig auf
> K(r).
> Das widersprich sich doch, oder??? Im K(r) sind ja auch
> alle z mit |z|=r enthalten und (s.o.) dafür kann man doch
> keine allgemeinen Konvergenzaussagen machen. Irgendwie
> verstehe ich das nicht.
Es stimmt, daß dein K(r) auch alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z|=r_$ enthält.
Aber hier kommt es eben genau auf das "blabla" an, ob die Aussage richtig oder ein Druckfehler ist.
Es ist nämlich durchaus richtig, daß man im Allgemeinen nichts über die Konvergenz einer Ptenzreihe in den Punkten am Rand sagen kann,
wenn man jedoch gewisse Einschränkungen, eben dieses "blabla", macht, ist es dennoch möglich, einige Aussagen zu treffen.
> Zur gleichmäßigen Konvergenz: gegen welche Funktion
> konvergiert sie denn?
Im Idealfall konvergiert die Taylorreihe gegen die Funktion, die man eigentlich darstellen will, im schlimmsten Falle ist es aber auch möglich, daß sie überall konvergiert, aber nirgendwo gegen den Funktionswert der "Zielfunktion".
> Und dann noch etwas aus dem Buch:
> "Der Limes einer Potenzreihe stellt eine im Innern des
> Konvergenzkreises stetige Funktion dar." Dabei ist die
> Bemerkung zum folgenden Satz:
> Eine Grenzfunktion einer Funktionenfolge stetiger
> Funktionen, die gleichmäßig gegen die Grenzfunktion
> konvergiert, ist auch stetig.
> Wirklich, ich habe keine Ahnung wie ich mir das mit dem
> Satz erklären soll.... und was meinen sie mit "Limes einer
> Potenzreihe"?
Also: Der limes einer Potenzreihe ist einfach der Grenzwert dieser Reihe, wenn Du zuerst allgemein, sagen wir bis N, summierst und dann N gegen unendlich gehen läßt (salopp gesprochen).
Ein gleichmäßiger limes liegt nun dann vor, wenn gleichzeitig ab einem bestimmten N alle Reihenwerte (für alle x) beliebig nahe an der Grenzunktion liegen.
Und ein solcher limes stetiger Funktionen (das sind ja einfach Polynome, also stetiger gehts ja gar nicht!), ist eben immer selbst stetig.
Ich schlage vor, Du schreibst erstmal auf, was dieses "blabla" denn genau ist, solltest Du zu dem oben gesagten noch Fragen haben, kannst Du die dann ja auch stellen!
Gruß,
Christian
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