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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Di 24.11.2015 | | Autor: | Twixi |
| Aufgabe | Zeigen oder wiederlegen Sie:
i. Falls für die reelle Matrix A, A = [mm] QDQ^T [/mm] mit orthogonalem Q und diagonalem, reellem D gilt, so ist sie symmetrisch und auch normal.
ii. Für normale Matrizen gibt es eine Basis von Eigenvektoren, die orthogonal aufeinander stehen |
Hallo liebe Community,
ich hänge schon seit einiger Zeit an den obigen Aufgaben und komme einfach nicht weiter.
i. müsste falsch sein - nur die Umkehrung dürfte gelten.
Ich habe aber irgendwie ein Brett vorm Kopf und mir fällt kein Gegenbeispiel ein.
ii. müsste - glaube ich - richtig sein.
Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
Vielen lieben Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Di 24.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen oder wiederlegen Sie:
> i. Falls für die reelle Matrix A, A = [mm]QDQ^T[/mm] mit
> orthogonalem Q und diagonalem, reellem D gilt, so ist sie
> symmetrisch und auch normal.
> ii. Für normale Matrizen gibt es eine Basis von
> Eigenvektoren, die orthogonal aufeinander stehen
> Hallo liebe Community,
>
> ich hänge schon seit einiger Zeit an den obigen Aufgaben
> und komme einfach nicht weiter.
> i. müsste falsch sein - nur die Umkehrung dürfte
> gelten.
> Ich habe aber irgendwie ein Brett vorm Kopf und mir fällt
> kein Gegenbeispiel ein.
> ii. müsste - glaube ich - richtig sein.
>
> Kann mir vielleicht jemand dabei helfen?
Zu i) : berechne [mm] A^T [/mm] und schau, ob [mm] A=A^T [/mm] gilt.
Zu ii) : Welche Klassen diagonalisierbarer Matrizen kennst Du ?
FRED
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> Vielen lieben Dank im Voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 24.11.2015 | | Autor: | Twixi |
Danke für deinen Hinweis.
Ich habe i. für mehrere Matrizen getestet und es kommt immer [mm] A=A^T [/mm] raus. Entweder habe ich mir doofe Beispiele rausgesucht, oder die Aussage stimmt wohl doch ;) Wenn ja, habe ich allerdings keine Ahnung, wie ich das beweisen soll..
Diagonalisierbar sind z.B. symmetrische, unitäre oder Matrizen mit paarweise verschiedenen EW.
Wie hilft mir das hier weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Di 24.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deinen Hinweis.
> Ich habe i. für mehrere Matrizen getestet und es kommt
> immer [mm]A=A^T[/mm] raus. Entweder habe ich mir doofe Beispiele
> rausgesucht, oder die Aussage stimmt wohl doch ;) Wenn ja,
> habe ich allerdings keine Ahnung, wie ich das beweisen
> soll..
Aus $A = [mm] QDQ^T [/mm] $ folgt [mm] $A^T=(Q^T)^TD^TQ^T$
[/mm]
D ist eine reelle Diagonalmatrix, also ist [mm] $D^T=D$. [/mm] Wegen [mm] $(Q^T)^T=Q$ [/mm] ergibt sich [mm] $A^T=A$
[/mm]
>
> Diagonalisierbar sind z.B. symmetrische, unitäre oder
> Matrizen mit paarweise verschiedenen EW.
> Wie hilft mir das hier weiter?
Normale Matrizen sind unitär diagonalisierbar !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 24.11.2015 | | Autor: | Twixi |
Vielen vielen Dank für deine Hilfe, der Beweis ist mir nun klar :)
Ich habe gerade gelesen, dass die Konsequenz aus unitär diagonalisierbar ist, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Das ist ja die Aussage ii. Wie man das beweist, ist mir trotzdem nicht klar. Vielleicht könntest du mir hierbei noch einmal helfen? Das wäre toll!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:31 Mi 25.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen vielen Dank für deine Hilfe, der Beweis ist mir nun
> klar :)
> Ich habe gerade gelesen, dass die Konsequenz aus unitär
> diagonalisierbar ist, dass eine Orthonormalbasis aus
> Eigenvektoren existiert.
Das ist keine Konsequenz ! Es ist die Def. von "unitär diagonalisierbar"
> Das ist ja die Aussage ii. Wie man
> das beweist, ist mir trotzdem nicht klar. Vielleicht
> könntest du mir hierbei noch einmal helfen? Das wäre
> toll!
Schau mal hier:
http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/gdm-2011/chapter-21.pdf
Satz 21.23.
FRED
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