Eigenschaften v.Diskriminanten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Mi 28.05.2008 | | Autor: | bksstock |
Hallo!
In einem Beweis aus einem Buch, das ich gerade durcharbeite, wird folgende Aussage ohne Begründung genutzt:
Für einen algebraischen Zahlkörper K und freie Moduln N [mm] \subset [/mm] M [mm] \subset o_{K} [/mm] mit Rang n=(K: [mm] \IQ [/mm] ) gilt:
i) d(M) | d(N)
ii) |d(M)| = |d(N)| <=> M=N
Dabei steht d(X) für die Diskriminante von X, ist also ganzzahlig.
Weiß jemand, wie man das beweisen könnte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mi 28.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In einem Beweis aus einem Buch, das ich gerade
> durcharbeite, wird folgende Aussage ohne Begründung
> genutzt:
> Für einen algebraischen Zahlkörper K und freie Moduln N
> [mm]\subset[/mm] M [mm]\subset o_{K}[/mm] mit Rang n=(K: [mm]\IQ[/mm] ) gilt:
> i) d(M) | d(N)
> ii) |d(M)| = |d(N)| <=> M=N
> Dabei steht d(X) für die Diskriminante von X, ist also
> ganzzahlig.
>
> Weiß jemand, wie man das beweisen könnte?
Das sind jeweils [mm] $o_K$-Moduln, [/mm] oder? Und frei sind sie als [mm] $\IZ$-Moduln?
[/mm]
Aehnlich wie letztes mal  Nach dem Elementarteilersatz kannst du eine [mm] $\IZ$-Basis $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $M$ finden und ganze Zahlen [mm] $d_1, \dots, d_n \ge [/mm] 1$ mit [mm] $d_i$ [/mm] teilt [mm] $d_{i+1}$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i < n$ so, dass [mm] $(d_1 v_1, \dots, d_n v_n)$ [/mm] eine Basis von $N$ ist.
(Falls dir der Elementarteilersatz nichts sagt, die Smith-Form aber schon: waehle eine Basiswechselmatrix von einer Basis von $M$ zu einer Basis von $N$, und berechne davon die Smith-Form. Dies liefert dir die gesuchte Matrix von $M$ zusammen mit den ganzen Zahlen [mm] $d_1, \dots, d_n$.)
[/mm]
Daraus folgt dann $d(N) = [mm] d_1 \cdots d_n [/mm] d(M)$ (evtl. bis auf's Vorzeichen), und [mm] $d_1 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] d_n [/mm] = 1$ ist aequivalent zu $M = N$.
LG Felix
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