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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:37 Di 20.11.2007 | | Autor: | Hazzar |
| Aufgabe | sei ( [mm] a_n [/mm] ) [mm] n\el\ \IN [/mm] eine konvergente Folge komplexer Zahlen
mit dem Grenzwert a. Beweisen Sie, dass dann auch die Folgen [mm] |a_n|
[/mm]
[mm] (a_n [/mm] komplex konjugiert ) (Re [mm] a_n) [/mm] und (Im [mm] a_n) [/mm] konvergieren und ihre Grenzwete durch |a|,
a komplex konjugiert , Re a beziehungsweise Im a gegeben sind. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt... und suche ein breiteres Publikum
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=91754&post_id=669433
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Di 20.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hazzar,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Es wäre sehr schön, wenn Du Deine Lösungsansätze auch hier posten würdest ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Di 20.11.2007 | | Autor: | Hazzar |
Hier ist mein Lösungsansatz:
1) für die Bedingung der Konvergenz gilt: [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \epsilon
[/mm]
wenn das gilt, dann soll auch gelten: | [mm] |a_n| [/mm] - |a| | < [mm] \epsilon
[/mm]
Nach der Dreiecksungleichung gilt: [mm] ||a_n| [/mm] - |a|| [mm] <=|a_n [/mm] - a|
Damit ist auch [mm] ||a_n| [/mm] - |a| kleiner als [mm] \epsilon [/mm] und ist damit
konvergent mit dem grenzwert |a|
2)Jetzt den Teil mit Real und Imaginärteil:
[mm] |a_n [/mm] - a| = [mm] |x_n [/mm] - x + i*( [mm] y_n [/mm] - y)| <= [mm] |x_n [/mm] - x| + [mm] |y_n [/mm] -y|
Hier kann man jetzt die Bedingung nutzen |Re z| <= |z| und |Im z| <= |z|
Ich bin mir aber noch nicht ganz sicher ob meine Schreibweise hier richtig ist. Also:
der Betrag des Realteils ist kleiner oder gleich des Betrages der komlexen Zahl. Dann gilt also:
[mm] |x_n [/mm] - x| <= [mm] |a_n [/mm] - a| [mm] <\epsilon [/mm]
Wenn das so stimmt, habe ich aber immer noch die Beträge da stehen.
Sind das die Beträge die aus der Definition der Konvergenz stammen?
Zu dem Teil mit der komplexen Konjugation habe ich leider noch gar keine Idee
vielleicht könnt ihr mir da einen Ansatz verraten?
Vielen Dank für die Mühe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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