Eigenschaften stetiger Funkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 So 15.07.2007 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei D [mm] \subseteq \IR [/mm] f: D [mm] \to \IR [/mm] stetig im Punkt p [mm] \in [/mm] D mit [mm] f(p)\not=0.
[/mm]
Dann ist [mm] f(x)\not=0 [/mm] für alle x in einer Umgebung von p, d.h es existiert ein [mm] \delta [/mm] >0, so dass f(x) [mm] \not=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D mit [mm] |x-p|<\delta.
[/mm]
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Hallo,
ich habe versucht. diese Aufgabe so zu lösen: Wir nehmen an , dass die rechte Seite falsch ist, dann muss die linke Seite auch falsch sein (indirekter Beweis).
Ich habe die rechte Seite negiert: für alle [mm] \delta>0: [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] D : [mm] |x-p|<\delta \Rightarrow [/mm] f(x)=0. Setzten wir f(x)=0 in die linke Seite ein, dann steht dort: ......... [mm] |0-f(p)|=|f(p)|<\epsilon [/mm] .......... Da der Betrag von f(p) ein fester Wert ist, dann gilt die Abschätzung nicht für alle Epsilons. Dann würde f nicht mehr stetig sein, was natürlich unserer Anfangsvoraussetzung widerspricht.
Ich bitte um eine Korrektur. (wenn es etwas zum Korrigieren gibt  )
Schöne Grüße
Igor
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> Sei D [mm]\subseteq \IRunf[/mm] f: D [mm]\to \IR[/mm] stetig im Punkt p [mm]\in[/mm] D
> mit [mm]f(p)\not=0.[/mm]
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> Dann ist [mm]f(x)\not=0[/mm] für alle x in einer Umgebung von p, d.h
> es existiert ein [mm]\delta[/mm] >0, so dass f(x) [mm]\not=0[/mm] für alle x
> [mm]\in[/mm] D mit [mm]|x-p|<\delta.[/mm]
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> Hallo,
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> ich habe versucht. diese Aufgabe so zu lösen: Wir nehmen an
> , dass die rechte Seite falsch ist, dann muss die linke
> Seite auch falsch sein (indirekter Beweis).
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> Ich habe die rechte Seite negiert: für alle [mm]\delta>0:[/mm] für
> alle [mm]x\in[/mm] D : [mm]|x-p|<\delta \Rightarrow[/mm] f(x)=0. Setzten wir
> f(x)=0 in die linke Seite ein, dann steht dort: .........
> [mm]|0-f(p)|=|f(p)|<\epsilon[/mm] .......... Da der Betrag von f(p)
> ein fester Wert ist, dann gilt die Abschätzung nicht für
> alle Epsilons. Dann würde f nicht mehr stetig sein, was
> natürlich unserer Anfangsvoraussetzung widerspricht.
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> Ich bitte um eine Korrektur. (wenn es etwas zum Korrigieren
> gibt )
Also ich denke, dass Deine Überlegung richtig ist, empfinde diesen Weg über einen indirekten Beweis aber ganz unnötig anstrengend. Da ja, nach Voraussetzung [mm] $f(p)\neq [/mm] 0$ ist, gibt es aufgrund der Stetigkeit von $f$ zu [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \frac{|f(p)|}{2}$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so dass für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit $|x-p| < [mm] \delta$ [/mm] gilt: $|f(x)-f(p)|< [mm] \varepsilon$ [/mm] und daher $|f(x)|> [mm] \frac{|f(p)|}{2}> [/mm] 0$.
Nachtrag: [mm] $\varepsilon [/mm] := |f(p)|$ würde natürlich auch schon genügen...
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