Eigenschaft hermitesche Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 03.09.2015 | | Autor: | laupl |
Hallo,
ich habe eine Frage aus der Praxis. Versuche mal die mathematisch korrekt zu formulieren. Falls ich das nicht "sauber" hinbekomme, bitte gerne rückfragen.
Zunächst ein paar Definitionen:
$k=1...K [mm] \in \IR$ [/mm] ist ein Index
[mm] $m\vspace{}$ [/mm] ist ein bestimmter Wert von [mm] $k\vspace{}$
[/mm]
[mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] ist eine hermitesche $[N [mm] \times [/mm] N]$ Matrix [mm] $\in \IC$
[/mm]
[mm] $\boldsymbol{w}_k$ [/mm] ist ein $[N [mm] \times [/mm] 1]$ Vektor [mm] $\in \IC$; [/mm] davon gibt es [mm] $K\vspace{}$ [/mm] verschiedene
H bedeutet hermitesch, also komplex konjugiert und transponiert
[mm] $\gamma^2 \in \IR$ [/mm] ist die Kohärenz
Berechnet werden soll die Kohärenz [mm] $\gamma_{k,m}^2$ [/mm] zwischen allen [mm] $k\vspace{}$ [/mm] und einem fixen [mm] $m\vspace{}$:
[/mm]
[mm] $\gamma_{k,m}^2=\frac{|\boldsymbol{w}_k^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_m|^2}{(\boldsymbol{w}_k^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_k)(\boldsymbol{w}_m^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_m)}$
[/mm]
Für $k=m$ ergibt sich eine Kohärenz von 1. Soweit so gut.
Nun habe ich aber festgestellt, dass es [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] gibt, für welche sich [mm] $\gamma_{k,m}^2=1 \quad \forall \quad [/mm] k$ ergibt.
Die Frage lautet nun, welche Eigenschaften muss [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] aufweisen, damit als Kohärenz immer 1 rauskommt? Bzw. welche Eingenschaften muss [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] aufweisen, damit nur für $k=m$ eine Kohärenz von 1 rauskommt?
Hoffe das war verständlich. Danke, Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Fr 04.09.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> ich habe eine Frage aus der Praxis. Versuche mal die
> mathematisch korrekt zu formulieren. Falls ich das nicht
> "sauber" hinbekomme, bitte gerne rückfragen.
>
> Zunächst ein paar Definitionen:
> [mm]k=1...K \in \IR[/mm] ist ein Index
Wohl eher [mm] $K\in \IN$
[/mm]
> [mm]m\vspace{}[/mm] ist ein bestimmter Wert von [mm]k\vspace{}[/mm]
Sei [mm] $1\leq m\leq [/mm] K$.
> [mm]\boldsymbol{C}[/mm] ist eine hermitesche [mm][N \times N][/mm] Matrix
> [mm]\in \IC[/mm]
... mit Eintraegen aus [mm] $\IC$.
[/mm]
> [mm]\boldsymbol{w}_k[/mm] ist ein [mm][N \times 1][/mm] Vektor [mm]\in \IC[/mm];
... mit Eintraegen aus [mm] $\IC$.
[/mm]
> davon gibt es [mm]K\vspace{}[/mm] verschiedene
> H bedeutet hermitesch, also komplex konjugiert und
> transponiert
> [mm]\gamma^2 \in \IR[/mm] ist die Kohärenz
>
> Berechnet werden soll die Kohärenz [mm]\gamma_{k,m}^2[/mm] zwischen
> allen [mm]k\vspace{}[/mm] und einem fixen [mm]m\vspace{}[/mm]:
>
> [mm]\gamma_{k,m}^2=\frac{|\boldsymbol{w}_k^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_m|^2}{(\boldsymbol{w}_k^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_k)(\boldsymbol{w}_m^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_m)}[/mm]
>
> Für [mm]k=m[/mm] ergibt sich eine Kohärenz von 1. Soweit so gut.
> Nun habe ich aber festgestellt, dass es [mm]\boldsymbol{C}[/mm]
> gibt, für welche sich [mm]\gamma_{k,m}^2=1 \quad \forall \quad k[/mm]
> ergibt.
>
> Die Frage lautet nun, welche Eigenschaften muss
> [mm]\boldsymbol{C}[/mm] aufweisen, damit als Kohärenz immer 1
> rauskommt? Bzw. welche Eingenschaften muss [mm]\boldsymbol{C}[/mm]
> aufweisen, damit nur für [mm]k=m[/mm] eine Kohärenz von 1
> rauskommt?
Wenn ueber die [mm] $w_{k}$ [/mm] keine weiteren Eigenschaften vorausgesetzt sind, kann ergibt sich keine Bedingung an die Matrix. Sind die Vektoren alle Vielfache voneinander, so erhaelst Du stets eine Kohaerenz von $1$ fuer jede Matrix.
>
> Hoffe das war verständlich. Danke, Grüße
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:36 Fr 04.09.2015 | | Autor: | laupl |
Hallo,
danke für die Antwort und die Berichtigungen. Stimmt alles so, wie du es verbessert hast. Das hatte ich nicht wirklich gut beschrieben.
Die Vektoren [mm] $\boldsymbol{w}_k$ [/mm] sind keine Vielfachen voneinander. Welche mathematischen Eigenschaften sie haben, kann ich gerade nicht formulieren. Muss ich mir nochmal genau überlegen.
Aber lässt sich auch ohne dieses Wissen vielleicht diese Frage beantworten: Welche Eigenschaften müssen [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{w}_k$ [/mm] aufweisen, damit sich nicht für alle [mm] $k\vspace{}$ [/mm] eine Kohärenz von 1 ergibt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Fr 04.09.2015 | | Autor: | hippias |
Die Formel fuer [mm] $\gamma$ [/mm] sieht ja ein bisschen wie die aus der Schule bekannte Formel fuer den Kosinus des Winkel zwischen zwei reellen Vektoren bzw. die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung. Wenn also $C$ positiv definit ist, dann koennte man schlussfolgern, dass [mm] $\gamma$ [/mm] genau dann $=1$ ist, wenn die $w$'s linear abhaengig sind.
Aber allgemeinere Kriterien sehe ich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 07.09.2015 | | Autor: | laupl |
Hi,
das waren schon sehr nützliche Hinweise, danke!
Die [mm] $\boldsymbol{w}_k$ [/mm] sind tatsächlich linear abhängig. Allerdings erhalte ich [mm] $\gamma_k^2=1 \quad \forall \quad [/mm] k$, wenn [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] nicht positiv definit ist. Und wenn [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] positiv definit ist, erhalte ich nur für bestimmte [mm] $k\vspace{}$ [/mm] einen Wert von 1. Hattest du das vielleicht auch so gemeint?
Jedenfalls weiß ich jetzt schonmal, dass die Definitheit von [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] der entscheidende Parameter ist.
Ich habe allerdings noch nicht verstanden, warum das Ergebnis davon abhängt. Wie kann man zeigen, dass bei entsprechender Definitheit (und Abhängigkeit der Vektoren) immer 1 rauskommen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:22 Mi 09.09.2015 | | Autor: | hippias |
Schau Dir einen Beweis der Cauchy-Schwarz'schen Ungleichung an. Da solltest Du fuendig werden.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:41 Mi 09.09.2015 | | Autor: | laupl |
Hi,
also ich versuche mal das in Richtung der genannten Ungleichung zu bringen. Diese sieht beispielsweise so aus:
$$
[mm] \left(\sum_i^N x_iy_i\right)^2\leq\left(\sum_i^N x_i^2\right)\left(\sum_i^N y_i^2\right)
[/mm]
$$
Gleichheit gilt genau dann, wenn [mm] $\boldsymbol{x}$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{y}$ [/mm] linear abhängig sind.
Für meinen Fall setze ich also Zähler und Nenner gleich:
$$
[mm] |\boldsymbol{w}_k^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_m|^2=(\boldsymbol{w}_k^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_k)(\boldsymbol{w}_m^{\rm{H}}\boldsymbol{Cw}_m)
[/mm]
$$
Dann schreibe ich alles als Summen:
$$
[mm] \left|\sum_i^N \sum_j^N w_{k,i}^*c_{i,j}w_{m,j}\right|^2=\left(\sum_i^N \sum_j^N w_{k,i}^*c_{i,j}w_{k,j}\right)\left(\sum_i^N \sum_j^N w_{m,i}^*c_{i,j}w_{m,j}\right)
[/mm]
$$
Das sieht jetzt schonmal so ähnlich aus, wie die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung. Ehrlich gesagt sehe ich hier jetzt aber noch immer nicht den Beweis für die Gleichhheit. Kann mir da nochmal jemand auf die Sprünge helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:43 Fr 18.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:05 So 13.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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