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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 18.09.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | [mm] E_{\lambda_i} [/mm] ist der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda_i
[/mm]
[mm] E^'_{\lambda_i} [/mm] ist der verallgemeinerte Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda_i
[/mm]
Warum glt: [mm] dim(ker(\phi- \lambda_i id_v))= [/mm] dim [mm] (ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}} [/mm] ) ) |
Hallo,
Meine Frage tauchte bei einen Beweis zur Jordanformel auf.
Vlt kann mir da wer helfen
[mm] E^'_{\lambda_i} [/mm] = [mm] \{ v \in V | \exists N : (\phi- \lambda_i id_v)^N (v)=0\}
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]E_{\lambda_i}[/mm] ist der Eigenraum zum Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm]
> [mm]E^'_{\lambda_i}[/mm] ist der verallgemeinerte Eigenraum zum
> Eigenwert [mm]\lambda_i[/mm]
>
> Warum glt: [mm]dim(ker(\phi- \lambda_i id_v))=[/mm] dim
> [mm](ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}}[/mm] ) )
Weil [mm] ker(\phi- \lambda_i id_v)=ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}} [/mm] )
Rechne es nach !
FRED
>
> Hallo,
> Meine Frage tauchte bei einen Beweis zur Jordanformel
> auf.
> Vlt kann mir da wer helfen
> [mm]E^'_{\lambda_i}[/mm] = [mm]\{ v \in V | \exists N : (\phi- \lambda_i id_v)^N (v)=0\}[/mm]
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Do 20.09.2012 | | Autor: | quasimo |
XD
ZZ.: $ [mm] ker(\phi- \lambda_i id_v)=ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}} [/mm] $ )
Also zwei Implikationen sind zuzeigen
[mm] 1)ker(\phi- \lambda_i id_v)\subseteq ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}} [/mm] $ )
Sei x [mm] \in ker(\phi- \lambda_i id_v) [/mm] <=> [mm] (\phi [/mm] - [mm] \lambda_i id_v) [/mm] (x) =0 <=> [mm] \phi(x)=\lambda_i id_v [/mm] (x) <=> [mm] \phi(x)= \lambda_i [/mm] x
Zuzeigen ist x [mm] \in ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}} [/mm] )
dh. [mm] \phi|_{E^'_{\lambda_i}} [/mm] (x) = [mm] \lambda_i id_v|_{E^'_{\lambda_i}} [/mm] (x)
Nun $ [mm] E^'_{\lambda_i} [/mm] $ = $ [mm] \{ v \in V | \exists N : (\phi- \lambda_i id_v)^N (v)=0\} [/mm] $
Ich kenne mich mit den verallgemeinerten Eigenräumen noch nicht so gut aus.
LG,
quasimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> XD
> ZZ.: [mm]ker(\phi- \lambda_i id_v)=ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}}[/mm]
> )
>
> Also zwei Implikationen sind zuzeigen
> [mm]1)ker(\phi- \lambda_i id_v)\subseteq ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}}[/mm]
> $ )
> Sei x [mm]\in ker(\phi- \lambda_i id_v)[/mm] <=> [mm](\phi[/mm] - [mm]\lambda_i id_v)[/mm]
> (x) =0 <=> [mm]\phi(x)=\lambda_i id_v[/mm] (x) <=> [mm]\phi(x)= \lambda_i[/mm]
> x
> Zuzeigen ist x [mm]\in ker((\phi-\lambda_i id_v)|_{E^'_{\lambda_i}}[/mm]
> )
> dh. [mm]\phi|_{E^'_{\lambda_i}}[/mm] (x) = [mm]\lambda_i id_v|_{E^'_{\lambda_i}}[/mm]
> (x)
> Nun [mm]E^'_{\lambda_i}[/mm] = [mm]\{ v \in V | \exists N : (\phi- \lambda_i id_v)^N (v)=0\}[/mm]
>
> Ich kenne mich mit den verallgemeinerten Eigenräumen noch
> nicht so gut aus.
>
> LG,
> quasimo
Damit wir nicht soviel schreiben müssen, kürze ich ab:
Sei U:=$ [mm] E^'_{\lambda_i} [/mm] $ und T:=$ [mm] \phi [/mm] $ - $ [mm] \lambda_i id_v$ [/mm]
Zu zeigen ist also: [mm] ker(T)=ker(T_{|U}).
[/mm]
Die Inklusion [mm] ker(T_{|U}) \subseteq [/mm] ker(T) ist klar.
Sei nun x [mm] \in [/mm] ker(T). Dann ist T(x)=0 und x [mm] \in [/mm] U. Also: x [mm] \in ker(T_{|U}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Do 20.09.2012 | | Autor: | quasimo |
okay , das ist mir zu einfach um draufzukommen ;)
LG
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