Eigenräume sind F-invariant < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mi 06.10.2010 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | F [mm]\in[/mm] End(V)
[mm]\lambda[/mm] ist Eigenwert von F.
Zu zeigen: Eig(F, [mm]\lambda[/mm]) ist F-invarianter Unterraum von V. |
Hallo!
Ich habe zwei Beweisideen und würde gern wissen, ob die richtig sind. Der zweite kommt mir schon etwas seltsam vor.. Vielen Dank für eure Hilfe!
Das ein Eigenraum ein Unterraum von V ist, ist klar und werde ich jetzt nicht durchgehen.
1.)
[mm]Eig(F, \lambda) := \left\{ v \in V | F(v) = \lambda * v \right\}[/mm]
F auf Eigenschaft anwenden und schauen, ob das Bild im Unterraum bleibt:
[mm]F(F(v)) = F(\lambda * v) = \lambda * F(v)[/mm]
also: [mm]F(v) \in Eig(F, \lambda)[/mm]
[mm]\Rightarrow Eig(F,\lambda)[/mm] ist F-invariant.
2.)
[mm]Eig(F, \lambda)[/mm] ist Unterraum von V, sei [mm]B = (v_{1}, .. ,v_{k})[/mm] Basis des Unterraums.
Sei u [mm]\in Eig(F, \lambda)[/mm], dann gibt es eine eindeutige Darstellung
[mm]u = a_{1}*v_{1} + .. + a_{k}*v_{k}[/mm]
Betrachte Bild von u:
[mm]F(u) = F(a_{1}*v_{1} + .. + a_{k}*v_{k})
= a_{1}*F(v_{1}) + .. + a_{k}*F(v_{k})
= a_{1}*\lambda*v_{1} + .. + a_{k}*\lambda*v_{k}
= \lambda*(a_{1}*v_{1} + .. + a_{k}*v_{k})
= \lambda*u[/mm]
also: [mm]u \in Eig(F, \lambda)[/mm]
[mm]\Rightarrow Eig(F,\lambda)[/mm] ist F-invariant.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 06.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> F [mm]\in[/mm] End(V)
> [mm]\lambda[/mm] ist Eigenwert von F.
> Zu zeigen: Eig(F, [mm]\lambda[/mm]) ist F-invarianter Unterraum von
> V.
> Hallo!
>
> Ich habe zwei Beweisideen und würde gern wissen, ob die
> richtig sind. Der zweite kommt mir schon etwas seltsam
> vor.. Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Das ein Eigenraum ein Unterraum von V ist, ist klar und
> werde ich jetzt nicht durchgehen.
>
> 1.)
> [mm]Eig(F, \lambda) := \left\{ v \in V | F(v) = \lambda * v \right\}[/mm]
>
> F auf Eigenschaft anwenden und schauen, ob das Bild im
> Unterraum bleibt:
>
> [mm]F(F(v)) = F(\lambda * v) = \lambda * F(v)[/mm]
>
> also: [mm]F(v) \in Eig(F, \lambda)[/mm]
> [mm]\Rightarrow Eig(F,\lambda)[/mm]
> ist F-invariant.
>
>
Alles bestens.
>
> 2.)
> [mm]Eig(F, \lambda)[/mm] ist Unterraum von V, sei [mm]B = (v_{1}, .. ,v_{k})[/mm]
> Basis des Unterraums.
> Sei u [mm]\in Eig(F, \lambda)[/mm], dann gibt es eine eindeutige
> Darstellung
> [mm]u = a_{1}*v_{1} + .. + a_{k}*v_{k}[/mm]
>
> Betrachte Bild von u:
> [mm]F(u) = F(a_{1}*v_{1} + .. + a_{k}*v_{k})
= a_{1}*F(v_{1}) + .. + a_{k}*F(v_{k})
= a_{1}*\lambda*v_{1} + .. + a_{k}*\lambda*v_{k}
= \lambda*(a_{1}*v_{1} + .. + a_{k}*v_{k})
= \lambda*u[/mm]
>
> also: [mm]u \in Eig(F, \lambda)[/mm]
Hier hast Du Dich möglicherweise verschrieben: richtig: [mm]F(u) \in Eig(F, \lambda)[/mm]
dann ist der 2. Beweis auch O.K.
Wobei Du im 2. Beweis voraussetzen mußt, dass dim V < [mm] \infty [/mm] ist. Das brauchst Du im 1. Beweis nicht
FRED
> [mm]\Rightarrow Eig(F,\lambda)[/mm] ist
> F-invariant.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 08.10.2010 | | Autor: | ilfairy |
Ja, stimmt! Da hab ich mich verschrieben!
Danke für die schnelle Antwort!!
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