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| Aufgabe | 1. Aufgabe
Die Matrix $ A = [mm] \begin{bmatrix}-7 & 4 & 2 \\ -8 & 5 & 2 \\ -8 & 4 & 3 \end{bmatrix} \in \IR^{3,3} [/mm] $ hat die Eigenwerte [mm] $\lambda_1 [/mm] = 1$ und [mm] $\lambda_2 [/mm] = -1$. Berechnen Sie die zugehörigen Eigenräume. Ist die Matrix A diagonalisierbar? Wenn ja, geben Sie S und D an, so dass $A = [mm] SDS^{-1}$.
[/mm]
(4 Punkte) |
a) Eigenräume berechnen:
Theoretisch müsste das ganze ja wie folgt ausschauen für [mm] \lambda_1.
[/mm]
[mm] $Eig_1(A) [/mm] = [mm] Kern(A-1*I_3) [/mm] = Kern [mm] \left ( \begin{bmatrix}-8 & 4 & 2 \\ -8 & 4 & 2 \\ -8 & 4 & 2 \end{bmatrix} \right [/mm] )$
So nun kommt schon der erste Hacken an dem ich mich aufhänge. Wenn ich entsprechend umforme sieht man ja schnell:
[mm] $\begin{bmatrix}-8 & 4 & 2 \\ -8 & 4 & 2 \\ -8 & 4 & 2 \end{bmatrix} \sim [/mm] > [mm] \begin{bmatrix}-8 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
[/mm]
Jetzt komm ich schon nicht weiter. Eigentlich ist es ja ein Gleichungssystem. Also quasi:
[mm] $-8x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0$
[mm] $4x_1 [/mm] = [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3$
[/mm]
MuPad (Matheprogramm) berechnet mir aus der Matrix aber:
[mm] $\left \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix} \right \rangle$
[/mm]
Wie kommt man denn darauf? Und etwas das mich noch viel mehr verwirrt.
Ich hab unter anderem auch den Vektor [mm] \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} [/mm] raus. Ich weiß das im Span nur 2 Vektoren sind da sich jeder (der nun 3 Vektoren) als Linearkombination der anderen Beiden darstellen lassen kann. Aber wer sagt mir welche beiden Vektoren in den Span gehören, wenn doch in Gewisserweise jeder linear abhängig ist? *grübel*
Der zweite Eigenraum ist nicht ganz so verwirrend. ;)
[mm] $Eig_{-1}(A) [/mm] = [mm] Kern(A+1*I_3) [/mm] = Kern [mm] \left ( \begin{bmatrix}-6 & 4 & 2 \\ -8 & 6 & 2 \\ -8 & 4 & 4 \end{bmatrix} \right [/mm] )$
[mm] \begin{bmatrix}-6 & 4 & 2 \\ -8 & 6 & 2 \\ -8 & 4 & 4 \end{bmatrix} \sim [/mm] > [mm] \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Also nichts anderes als:
[mm] §x_1 [/mm] = [mm] \alpha$ [/mm] mit [mm] $\alpha \in \IR$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] = [mm] \alpha$
[/mm]
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] = [mm] \alpha$
[/mm]
Also ergibt sich als Span:
[mm] $\left \langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right \rangle$
[/mm]
Müsste doch so stimmen, oder hab ich von vornherein ein Denkfehler?
b) Ist die Matrix diagonalisierbar?
Ja, da wir 3 Eigenvektoren in 2 Eigenräumen haben, welche Paarweise voneinander verschieden sind. Also lässt sich damit der [mm] \IR^{3,3} [/mm] aufspannen.
c) Geben Sie S und D an:
Im Tutorium wurde gesagt, man setzt in S einfach die Eigenvektoren als Spalten ein.
Also:
$S = [mm] \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}$
[/mm]
Für D werden nun einfach die Eigenwerte in den Diagonaleinträgen eingetragen.
$D = [mm] \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
[/mm]
So. Das müsste es gewesen sein.
Kommt sogar das richtige raus. A = [mm] SDS^{-1}
[/mm]
Nur die obigen Problemchen bereiten mir Kopfzerbrechen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank schon mal im vorraus.
Liebe Grüße André
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Hallo André,
> 1. Aufgabe
> Die Matrix [mm]A = \begin{bmatrix}-7 & 4 & 2 \\
-8 & 5 & 2 \\
-8 & 4 & 3 \end{bmatrix} \in \IR^{3,3}[/mm]
> hat die Eigenwerte [mm]\lambda_1 = 1[/mm] und [mm]\lambda_2 = -1[/mm].
> Berechnen Sie die zugehörigen Eigenräume. Ist die Matrix
> A diagonalisierbar? Wenn ja, geben Sie S und D an, so dass
> [mm]A = SDS^{-1}[/mm].
> (4 Punkte)
> a) Eigenräume berechnen:
> Theoretisch müsste das ganze ja wie folgt ausschauen für
> [mm]\lambda_1.[/mm]
> [mm]Eig_1(A) = Kern(A-1*I_3) = Kern \left ( \begin{bmatrix}-8 & 4 & 2 \\
-8 & 4 & 2 \\
-8 & 4 & 2 \end{bmatrix} \right )[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> So nun kommt schon der erste Hacken
Haken ...
> an dem ich mich
> aufhänge. Wenn ich entsprechend umforme sieht man ja
> schnell:
> [mm]\begin{bmatrix}-8 & 4 & 2 \\
-8 & 4 & 2 \\
-8 & 4 & 2 \end{bmatrix} \sim > \begin{bmatrix}-8 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Jetzt komm ich schon nicht weiter. Eigentlich ist es ja ein
> Gleichungssystem. Also quasi:
> [mm]-8x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 0[/mm]
> [mm]4x_1 = 2x_2 + x_3[/mm]
> MuPad
> (Matheprogramm) berechnet mir aus der Matrix aber:
> [mm]\left \langle \begin{bmatrix} 1 \\
2 \\
0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} 1 \\
0 \\
4 \end{bmatrix} \right \rangle[/mm]
>
> Wie kommt man denn darauf? Und etwas das mich noch viel
> mehr verwirrt.
Na, du hast in der Zeilenstufenform nur noch 1 Gleichung in 3 Variablen, da sind 2 frei wählbar:
[mm]-8x_1+4x_2+2x_3=0[/mm]
Erstmal durch 2:
[mm]-4x_1+2x_2+x_3=0[/mm]
Wähle etwa [mm]x_2=s, x_3=t[/mm] mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
Dann ist [mm]-4x_1=-2x_2-x_3=-2s-t[/mm]
Also [mm]x_1=\frac{1}{2}s+\frac{1}{4}t[/mm]
Ein Vektor [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}[/mm] aus dem Kern sieht also so aus:
[mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3}=\vektor{\frac{1}{2}s+\frac{1}{4}t\\
s\\
t}=\vektor{\frac{1}{2}s\\
1\\
0}+\vektor{\frac{1}{4}t\\
0\\
1}=s\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{\frac{1}{4}\\
0\\
1}[/mm]
Also [mm]Kern(A-\lambda_1\mathbb{E})=\left\{s\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\
1\\
0}+t\cdot{}\vektor{\frac{1}{4}\\
0\\
1}\mid s,t\in\IR\right\}[/mm]
Also ist der Kern 2-dimensional, mit [mm]s=2, t=4[/mm] etwa erhältst du als Basis genau die beiden Vektoren, die der Rechenknecht ausgespuckt hat.
> Ich hab unter anderem auch den Vektor [mm]\begin{bmatrix} 0 \\
1 \\
-2 \end{bmatrix}[/mm]
> raus.
Rechnung?
> Ich weiß das im Span nur 2 Vektoren sind da sich
> jeder (der nun 3 Vektoren) als Linearkombination der
> anderen Beiden darstellen lassen kann. Aber wer sagt mir
> welche beiden Vektoren in den Span gehören, wenn doch in
> Gewisserweise jeder linear abhängig ist? *grübel*
Nun, siehe oben, die Matrix, deren Kern du bestimmsn willst, hat Rang 1, also ist der Kern [mm]3-1=2[/mm]-dim.
>
> Der zweite Eigenraum ist nicht ganz so verwirrend. ;)
> [mm]Eig_{-1}(A) = Kern(A+1*I_3) = Kern \left ( \begin{bmatrix}-6 & 4 & 2 \\
-8 & 6 & 2 \\
-8 & 4 & 4 \end{bmatrix} \right )[/mm]
>
> [mm]\begin{bmatrix}-6 & 4 & 2 \\
-8 & 6 & 2 \\
-8 & 4 & 4 \end{bmatrix} \sim[/mm]
> > [mm]\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Also nichts anderes als:
> [mm]§x_1[/mm] = [mm]\alpha[/mm] mit [mm][/mm][mm] \alpha \in \IR$[/mm]
[/mm]
> [mm]x_2 = x_1 = \alpha[/mm]
>
> [mm]x_3 = x_1 = \alpha[/mm]
> Also ergibt sich als Span:
> [mm]\left \langle \begin{bmatrix} 1 \\
1 \\
1 \end{bmatrix} \right \rangle[/mm]
>
> Müsste doch so stimmen, oder hab ich von vornherein ein
> Denkfehler?
>
> b) Ist die Matrix diagonalisierbar?
> Ja, da wir 3 Eigenvektoren in 2 Eigenräumen haben, welche
> Paarweise voneinander verschieden sind. Also lässt sich
> damit der [mm]\IR^{3,3}[/mm] aufspannen.
Na, wie ist das genau mit der algebraischen und geometrischen Vielfachheit?
Zu jedem Eigenwert muss die Vielfachheit als Nullstelle im char. Polynom (=algebr. VFH) mit der Dimension des zugeh. Eigenraumes (=geometr. VFH) übereinstimmen.
>
> c) Geben Sie S und D an:
> Im Tutorium wurde gesagt, man setzt in S einfach die
> Eigenvektoren als Spalten ein.
> Also:
> [mm]S = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & 4 & 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> Für D werden nun einfach die Eigenwerte in den
> Diagonaleinträgen eingetragen.
> [mm]D = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> So. Das müsste es gewesen sein.
> Kommt sogar das richtige raus. A = [mm]SDS^{-1}[/mm]
>
> Nur die obigen Problemchen bereiten mir Kopfzerbrechen.
Ich hoffe, nun nicht mehr ...
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> Vielen Dank schon mal im vorraus.
Ein "r" genügt vollkommen ...
> Liebe Grüße André
Gruß
schachuzipus
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