Eigenr. symmetrisierter Matr. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] A \in M(nxn,\IR) [/mm] orthogonal, [mm] B:=\bruch{1}{2}(A+A^t). [/mm]
Zeige: [mm]Eig(B,1) = Eig(A,1)[/mm] |
Hallo,
die Rückrichtung der Aussage zu zeigen ist mir bereits gelungen:
Sei [mm] x \in Eig(A,1) \Rightarrow Ax = x \Rightarrow x=A^tx [/mm]
Also: [mm] Bx = \bruch{1}{2}(A+A^t)x = \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = \bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}x = x \Rightarrow x \in Eig(B,1) [/mm]
Die Rückrichtung bereitet mir allerdings Probleme:
Sei [mm] x \in Eig(B,1) \Rightarrow Bx = x \Rightarrow \bruch{1}{2}(A+A^t)x = x \Rightarrow \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = x [/mm]
Nun multipliziere ich von links mit [mm] A [/mm] und nutze aus, dass [mm] A*A^t=E_n [/mm], da [mm] A [/mm] orthogonal.
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2}A^2-Ax+\bruch{1}{2}x = 0 \Rightarrow (A-E_n)^2x = 0 [/mm]
An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter, da der Matrizenring ja nicht nullteilerfrei ist und da ich nicht weiß, ob [mm] A-E_n [/mm] invertierbar ist.
Wie komme ich weiter oder habe ich einen falschen Ansatz verwendet?
Im Voraus vielen Dank für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Di 25.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Die Rückrichtung bereitet mir allerdings Probleme:
> Sei [mm]x \in Eig(B,1) \Rightarrow Bx = x \Rightarrow \bruch{1}{2}(A+A^t)x = x \Rightarrow \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = x[/mm]
Betrachte jetzt zusätzlich mal die Norm
[mm] $\| Bx\|=\| x\|$
[/mm]
Was weißt Du über [mm] $\|Ax\|$?
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Di 25.05.2010 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank für deine Antwort.
Also, ich weiß:
Da [mm] A [/mm] orthogonal: [mm] \left|\left|Ax\right|\right|=\left|\left|x\right|\right|.[/mm]
[mm] \left|\left|Bx\right|\right| = \left|\left|x\right|\right|. \Rightarrow \left|\left|x\right|\right| = \left|\left|\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}A^tx\right|\right| \le \frac{1}{2}\left|\left|Ax\right|\right|+\frac{1}{2}\left|\left|A^tx\right|\right| = \frac{1}{2}\left|\left|x\right|\right|+\frac{1}{2}\left|\left|x\right|\right| = \left|\left|x\right|\right| [/mm]
[mm] \Rightarrow \left|\left|\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}A^tx\right|\right| = \frac{1}{2}\left|\left|Ax\right|\right|+\frac{1}{2}\left|\left|A^tx\right|\right| \Rightarrow Ax\left|\right|A^tx [/mm] also, da [mm] \left|\left|Ax\right|\right|+\left|\left|A^tx\right|\right| = 2*\left|\left|x\right|\right| \Rightarrow Ax=A^tx = x [/mm]
Kann man so argumentieren?
Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Di 25.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
das stimmt alles.
ciao
Stefan
P.S.: [mm] $\| Ax\|$ [/mm] (draufklicken) macht die Norm-Striche viel, viel, viel schneller als Deine Variante. =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> das stimmt alles.
Das sehe ich anders !
FRED
>
> ciao
> Stefan
>
> P.S.: [mm]\| Ax\|[/mm] (draufklicken) macht die Norm-Striche viel,
> viel, viel schneller als Deine Variante. =)
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> Also, ich weiß:
>
> Da [mm]A[/mm] orthogonal:
> [mm]\left|\left|Ax\right|\right|=\left|\left|x\right|\right|.[/mm]
>
> [mm]\left|\left|Bx\right|\right| = \left|\left|x\right|\right|. \Rightarrow \left|\left|x\right|\right| = \left|\left|\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}A^tx\right|\right| \le \frac{1}{2}\left|\left|Ax\right|\right|+\frac{1}{2}\left|\left|A^tx\right|\right| = \frac{1}{2}\left|\left|x\right|\right|+\frac{1}{2}\left|\left|x\right|\right| = \left|\left|x\right|\right|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left|\left|\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}A^tx\right|\right| = \frac{1}{2}\left|\left|Ax\right|\right|+\frac{1}{2}\left|\left|A^tx\right|\right| \Rightarrow Ax\left|\right|A^tx[/mm]
> also, da
> [mm]\left|\left|Ax\right|\right|+\left|\left|A^tx\right|\right| = 2*\left|\left|x\right|\right| \Rightarrow Ax=A^tx = x[/mm]
Wieso ?? Vielleicht bin ich blind, aber das sehe ich nicht ohne Weiteres.
Du solltest noch verwenden, dass die Norm strikt ist (sie wir ja vom Innenprodukt erzeugt):
$ [mm] \parallel [/mm] $ x+y $ [mm] \parallel=\parallel [/mm] $ x $ [mm] \parallel [/mm] $ + $ [mm] \parallel [/mm] $ y $ [mm] \parallel \Rightarrow [/mm] $ x und y sind linear abhängig
FRED
>
> Kann man so argumentieren?
>
> Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 25.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
EDIT: Argh, jetzt seh ich erst was Du meinst. Das stimmt, die Norm ist strikt konvex, weil sie vom Skalarprodukt induziert wird.
> [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel=\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] + [mm]\parallel[/mm] y
> [mm]\parallel \Rightarrow[/mm] x und y sind linear abhängig
Zusätzlich sind sie gleich lang und ihre Summe ist doppelt so lang wie jeder einzeln. Damit sind sie identisch.
ciao
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A \in M(nxn,\IR)[/mm] orthogonal, [mm]B:=\bruch{1}{2}(A+A^t).[/mm]
> Zeige: [mm]Eig(B,1) = Eig(A,1)[/mm]
> Hallo,
>
> die Rückrichtung der Aussage zu zeigen ist mir bereits
> gelungen:
> Sei [mm]x \in Eig(A,1) \Rightarrow Ax = x \Rightarrow x=A^tx[/mm]
> Also: [mm]Bx = \bruch{1}{2}(A+A^t)x = \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = \bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}x = x \Rightarrow x \in Eig(B,1)[/mm]
>
> Die Rückrichtung bereitet mir allerdings Probleme:
> Sei [mm]x \in Eig(B,1) \Rightarrow Bx = x \Rightarrow \bruch{1}{2}(A+A^t)x = x \Rightarrow \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = x[/mm]
>
> Nun multipliziere ich von links mit [mm]A[/mm] und nutze aus, dass
> [mm]A*A^t=E_n [/mm], da [mm]A[/mm] orthogonal.
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}A^2-Ax+\bruch{1}{2}x = 0 \Rightarrow (A-E_n)^2x = 0[/mm]
Setze $C:= [mm] A-E_n$. [/mm] Dann gilt $C^tC= [mm] CC^t$
[/mm]
und somit: [mm] $||Cy||^2= [/mm] <Cy,Cy> = <C^tCy,y> = <CC^ty,y> = <C^ty,C^ty>= [mm] ||C^ty||^2$, [/mm] also
(*) $||Cy||= ||C^ty||$ für alle y
Weiter ist dann mit (*) und der Cauchy-Schwarz -Ungl.:
[mm] $||Cz||^2= [/mm] <C^tCz,z> [mm] \le [/mm] ||C^tCz||*||z||= ||C^2z||*||z||$
D.h. : aus $C^2z$=0 folgt stets Cz=0
Somit folgt aus [mm] (A-E_n)^2x [/mm] = 0 auch [mm] (A-E_n)x [/mm] = 0, also Ax=x
FRED
>
> An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter, da der
> Matrizenring ja nicht nullteilerfrei ist und da ich nicht
> weiß, ob [mm]A-E_n[/mm] invertierbar ist.
> Wie komme ich weiter oder habe ich einen falschen Ansatz
> verwendet?
> Im Voraus vielen Dank für die Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Di 25.05.2010 | | Autor: | Lippel |
> > Sei [mm]A \in M(nxn,\IR)[/mm] orthogonal, [mm]B:=\bruch{1}{2}(A+A^t).[/mm]
> > Zeige: [mm]Eig(B,1) = Eig(A,1)[/mm]
> > Hallo,
> >
> > die Rückrichtung der Aussage zu zeigen ist mir bereits
> > gelungen:
> > Sei [mm]x \in Eig(A,1) \Rightarrow Ax = x \Rightarrow x=A^tx[/mm]
> > Also: [mm]Bx = \bruch{1}{2}(A+A^t)x = \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = \bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}x = x \Rightarrow x \in Eig(B,1)[/mm]
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> >
> > Die Rückrichtung bereitet mir allerdings Probleme:
> > Sei [mm]x \in Eig(B,1) \Rightarrow Bx = x \Rightarrow \bruch{1}{2}(A+A^t)x = x \Rightarrow \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = x[/mm]
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> >
> > Nun multipliziere ich von links mit [mm]A[/mm] und nutze aus, dass
> > [mm]A*A^t=E_n [/mm], da [mm]A[/mm] orthogonal.
> > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}A^2-Ax+\bruch{1}{2}x = 0 \Rightarrow (A-E_n)^2x = 0[/mm]
>
>
> Setze [mm]C:= A-E_n[/mm]. Dann gilt [mm]C^tC= CC^t[/mm]
>
> und somit: [mm]||Cy||^2= = = = = ||C^ty||^2[/mm],
> also
>
> (*) [mm]||Cy||= ||C^ty||[/mm] für alle y
>
> Weiter ist dann mit (*) und der Cauchy-Schwarz -Ungl.:
>
> [mm]||Cz||^2= \le ||C^tCz||*||z||= ||C^2z||*||z||[/mm]
>
> D.h. : aus [mm]C^2z[/mm]=0 folgt stets Cz=0
>
> Somit folgt aus [mm](A-E_n)^2x[/mm] = 0 auch [mm](A-E_n)x[/mm] = 0, also
> Ax=x
>
> FRED
>
>
Vielen Dank für die Hilfe, das kling alles sehr plausibel.
Mir ist allerdings noch nicht klar warum ich [mm] C^2 = C^tC= CC^t [/mm] setzen darf, wie du es ja ganz am Anfang und nochmal am Ende tust.
[mm] A[/mm] ist doch nicht zwingend symmetrisch, sondern nur orthogonal. Ich weiß nicht warum dann [mm] C^2 = C^tC= CC^t [/mm] für [mm] C = A-E_n [/mm] folgen soll.
Lippel
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> > An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter, da der
> > Matrizenring ja nicht nullteilerfrei ist und da ich nicht
> > weiß, ob [mm]A-E_n[/mm] invertierbar ist.
> > Wie komme ich weiter oder habe ich einen falschen
> Ansatz
> > verwendet?
> > Im Voraus vielen Dank für die Hilfe.
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:05 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]A \in M(nxn,\IR)[/mm] orthogonal, [mm]B:=\bruch{1}{2}(A+A^t).[/mm]
> > > Zeige: [mm]Eig(B,1) = Eig(A,1)[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > die Rückrichtung der Aussage zu zeigen ist mir bereits
> > > gelungen:
> > > Sei [mm]x \in Eig(A,1) \Rightarrow Ax = x \Rightarrow x=A^tx[/mm]
> > > Also: [mm]Bx = \bruch{1}{2}(A+A^t)x = \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = \bruch{1}{2}x+\bruch{1}{2}x = x \Rightarrow x \in Eig(B,1)[/mm]
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> > > Die Rückrichtung bereitet mir allerdings Probleme:
> > > Sei [mm]x \in Eig(B,1) \Rightarrow Bx = x \Rightarrow \bruch{1}{2}(A+A^t)x = x \Rightarrow \bruch{1}{2}Ax +\bruch{1}{2}A^tx = x[/mm]
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> > >
> > > Nun multipliziere ich von links mit [mm]A[/mm] und nutze aus, dass
> > > [mm]A*A^t=E_n [/mm], da [mm]A[/mm] orthogonal.
> > > [mm]\Rightarrow \bruch{1}{2}A^2-Ax+\bruch{1}{2}x = 0 \Rightarrow (A-E_n)^2x = 0[/mm]
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> > Setze [mm]C:= A-E_n[/mm]. Dann gilt [mm]C^tC= CC^t[/mm]
> >
> > und somit: [mm]||Cy||^2= = = = = ||C^ty||^2[/mm],
> > also
> >
> > (*) [mm]||Cy||= ||C^ty||[/mm] für alle y
> >
> > Weiter ist dann mit (*) und der Cauchy-Schwarz -Ungl.:
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> > [mm]||Cz||^2= \le ||C^tCz||*||z||= ||C^2z||*||z||[/mm]
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> > D.h. : aus [mm]C^2z[/mm]=0 folgt stets Cz=0
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> > Somit folgt aus [mm](A-E_n)^2x[/mm] = 0 auch [mm](A-E_n)x[/mm] = 0, also
> > Ax=x
> >
> > FRED
> >
> >
> Vielen Dank für die Hilfe, das kling alles sehr
> plausibel.
> Mir ist allerdings noch nicht klar warum ich [mm]C^2 = C^tC= CC^t[/mm]
> setzen darf, wie du es ja ganz am Anfang und nochmal am
> Ende tust.
> [mm]A[/mm] ist doch nicht zwingend symmetrisch, sondern nur
> orthogonal. Ich weiß nicht warum dann [mm]C^2 = C^tC= CC^t[/mm]
> für [mm]C = A-E_n[/mm] folgen soll.
Das hab ich doch gar nicht gesagt. Und im allgemeinen stimmts auch nicht. !!!!
Wir haben [mm]||Cy||= ||C^ty||[/mm] für alle y. Setzt man y=Cz, so folgt:
[mm]||C^2z||= ||C^tCz||[/mm]
Nur das habe ich benutzt !
FRED
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> Lippel
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> > > An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter, da der
> > > Matrizenring ja nicht nullteilerfrei ist und da ich nicht
> > > weiß, ob [mm]A-E_n[/mm] invertierbar ist.
> > > Wie komme ich weiter oder habe ich einen falschen
> > Ansatz
> > > verwendet?
> > > Im Voraus vielen Dank für die Hilfe.
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Mi 26.05.2010 | | Autor: | Lippel |
Jetzt hab ichs verstanden, super. Danke Fred.
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