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Eigenfunktionen und Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Fr 11.04.2008
Autor: Denny22

Aufgabe
Betrachte für ein beschränktes Gebiet [mm] $\Omega\subset \IR^n$ ($n\in\IN$) [/mm] den Laplace-Operator

[mm] $A:=-\triangle:L^2(\Omega)\supset D(A)=H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\longrightarrow R(A)=L^2(\Omega)\quad\text{mit}\quad u(x)\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)$ [/mm]

Hallo an alle.

Ich habe gelesen, dass die Eigenfunktionen von $A$ durch

[mm] $\varphi_j(x)\,=\,\sqrt{2}\sin(j\pi x)\quad(j=1,\ldots,\infty)$ [/mm]

und die Eigenwerte von $A$ durch

[mm] $\lambda_j\,=\,j^2\pi^2\quad(j=1,\ldots,\infty)$ [/mm]

gegeben sind, d.h. sie erfüllen die Eigenschaft

[mm] $A\varphi_j\,=\,\lambda_j\varphi_j\quad(j=1,\ldots,\infty)$ [/mm]

Aber wenn ich mich jetzt nicht täusche, dann dürften dies doch nur die Eigenfunktionen und Eigenwerte für [mm] $\Omega\subset\IR$ [/mm] und nicht etwa für [mm] $\Omega\subset\IR^n$ [/mm] mit $n>1$ sein, oder? (Denn [mm] $\sqrt{2}\sin(j\pi [/mm] x)$ ist ja nicht z.B. für [mm] $x\in\IR^2$ [/mm] definiert). Genauer benötige ich nämlich die Eigenfunktionen und Eingenwerte für $n=1,2,3$.
Falls ich die obigen für $n=2,3$ aber nicht verwenden kann, wie sehen dann die für diese Fälle benötigten Eigenfunktionen und Eingenwerte aus?

Vielen Dank bereits im voraus
Gruß

        
Bezug
Eigenfunktionen und Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Fr 11.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Denny22,

> Betrachte für ein beschränktes Gebiet [mm]\Omega\subset \IR^n[/mm]
> ([mm]n\in\IN[/mm]) den Laplace-Operator
>  
> [mm]A:=-\triangle:L^2(\Omega)\supset D(A)=H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\longrightarrow R(A)=L^2(\Omega)\quad\text{mit}\quad u(x)\longmapsto\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)[/mm]
>  
> Hallo an alle.
>  
> Ich habe gelesen, dass die Eigenfunktionen von [mm]A[/mm] durch
>  
> [mm]\varphi_j(x)\,=\,\sqrt{2}\sin(j\pi x)\quad(j=1,\ldots,\infty)[/mm]
>  
> und die Eigenwerte von [mm]A[/mm] durch
>  
> [mm]\lambda_j\,=\,j^2\pi^2\quad(j=1,\ldots,\infty)[/mm]
>  
> gegeben sind, d.h. sie erfüllen die Eigenschaft
>  
> [mm]A\varphi_j\,=\,\lambda_j\varphi_j\quad(j=1,\ldots,\infty)[/mm]

Das ist die Lösung für dieses Randwertproblem:

[mm]-\sum_{i=1}^{1}\bruch{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)=-u_{xx}=\lambda * u\left(x\right)[/mm]

[mm]u\left(0\right)=u\left(1\right)=0[/mm]

>  
> Aber wenn ich mich jetzt nicht täusche, dann dürften dies
> doch nur die Eigenfunktionen und Eigenwerte für
> [mm]\Omega\subset\IR[/mm] und nicht etwa für [mm]\Omega\subset\IR^n[/mm] mit
> [mm]n>1[/mm] sein, oder? (Denn [mm]\sqrt{2}\sin(j\pi x)[/mm] ist ja nicht
> z.B. für [mm]x\in\IR^2[/mm] definiert). Genauer benötige ich nämlich
> die Eigenfunktionen und Eingenwerte für [mm]n=1,2,3[/mm].
> Falls ich die obigen für [mm]n=2,3[/mm] aber nicht verwenden kann,
> wie sehen dann die für diese Fälle benötigten
> Eigenfunktionen und Eingenwerte aus?

Die kannst Du Dir selber herleiten:

Für n=2 haben wir:

[mm]-\sum_{i=1}^{2}\bruch{\partial^2}{\partial x_i^2}u(x)=-u_{xx}-u_{yy}=\lambda * u\left(x\right)[/mm]

Ist das betrachtetes Gebiet rechteckig, so kann man mit dem Separationsansatz ansetzen:

[mm]u\left(x,y\right)=X\left(x\right)*Y\left(y\right)[/mm]

Natürlich musst Du dann auch die Randbedingungen transformieren.

Für n=3 geht das entsprechend.

>  
> Vielen Dank bereits im voraus
>  Gruß

Gruß
MathePower

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