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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mi 18.07.2018 | | Autor: | timmexD |
| Aufgabe | | Wie hoch dürfte der nominelle Jahreszinssatz für dieses Darlehen höchsten sein, wenn Max einen effektiven Jahreszinssatz von 9% p.a. haben möchte bei diesen Konditionen: Darlehen im Höhe von 12000 Euro mit einer Laufzeit von 4 Jahren und einem Damnum 4,5 %. Hierbei gelte die exponentielle Verzinsung. |
Guten Tag!
Ich habe zu dieser Aufgabe nur eine kurze Frage, da ich mir nicht sicher bin, ob diese Formel immer gilt: Effektiver Jahreszinssatz= Kreditkosten x 100 / (Laufzeit x Auszahlungsbetrag). Darf ich in diesem Fall diese Formel anwenden oder muss ich den effektiven Zinssatz auch exponentiell verzinsen?
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte.
Vielen Dank!
Tim
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> Wie hoch dürfte der nominelle Jahreszinssatz für dieses
> Darlehen höchsten sein, wenn Max einen effektiven
> Jahreszinssatz von 9% p.a. haben möchte bei diesen
> Konditionen: Darlehen im Höhe von 12000 Euro mit einer
> Laufzeit von 4 Jahren und einem Damnum 4,5 %. Hierbei gelte
> die exponentielle Verzinsung.
Heißt offensichtlich: Zinseszins-Rechnung.
Wie sieht nun der gesamte Vorgang aus?
Die Bank gewährt 12.000 €.
Sie zieht aber sofort 4,5% = 540 € ab.
Am Ende des ersten, 2., 3. und 4. Jahres zahlst du jeweils die Zinsen für 12.000 €, also immer den selben Betrag a.
Dann zahlst du die 12.000 € zurück.
Die Effektivzins-Berechnung mit 9 % ergibt sich damit so:
Du bekommst von der Bank 11.460 €.
Nach einem Jahr fallen 9 % Zinsen an, du hast 11.460 € * 1,09 Schulden.
Du zahlst aber den Betrag a ein und hast nur noch 11.460 € * 1,09 - a Schulden.
Am Ende des zweiten Jahres kommen wieder 9 % hinzu, du hast dann (11.460 € * 1,09 - a)*1,09 Schulden, zahlst wieder a ein und hast (11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a Schulden zu Beginn des 3. Jahres.
Am Ende des Dritten Jahres kommen wieder 9 % hinzu und du zahlst a ein, hast dann noch ((11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a)*1,09 - a Schulden, am Ende des 4. Jahres entsprechend (((11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a)*1,09 - a)*1,09-a.
Das sind dann genau die 12.000 € Schulden, die du jetzt der Bank zurückzahlst, um dann auf 0 zu stehen.
Also musst du die Gleichung lösen:
(((11.460 € * 1,09 - a)*1,09 - a)*1,09 - a)*1,09-a = 12.000
Nehmen wir mal an, a wäre 913,32 €. Das wären dann die Nominalzinsen für 12.000 €, also 7,611 %.
Aus dem Beispiel lässt sich auch eine (nicht ganz harmlose) Formel entwickeln.
K=Nominales Kapital, hier 12.000 €
E=Effektiv-Faktor, hier 1,09
A=Auszahlungsfaktor, hier 0,955
N=gesuchter Nominalzinssatzfaktor, hier angenommene 0,07611
J=Anzahl der Jahre hier J=4
Dann sieht obige Rechnung abstrakt so aus:
(((K*A*E-K*N)*E-K*N)*E-K*N)*E-K*N=K Die Klammern der Reihe nach ausgerechnet gibt das
[mm] K*A*E^2-K*N*E-K*N
[/mm]
[mm] K*A*E^3-K*N*E^2-K*N*E-K*N
[/mm]
[mm] K*A*E^4-K*N*E^3-K*N*E^2-K*N*E-K*N [/mm] und damit die Gleichung
[mm] K*A*E^4-K*N*E^3-K*N*E^2-K*N*E-K*N=K [/mm] |:K
[mm] A*E^4-N*E^3-N*E^2-N*E-N=1 [/mm]
Für J Jahre sähe das dann so aus:
[mm] AE^J-NE^{J-1}-NE^{J-2}-NE^{J-3}...-NE-N [/mm] = 1 oder umgestellt:
[mm] AE^J-1 [/mm] = [mm] NE^{J-1}+NE^{J-2}+NE^{J-3}...+NE-N [/mm] = (geom. Reihe) [mm] N\bruch{E^J-1}{E-1}.
[/mm]
Daraus erhält man nun sofort
N = [mm] \bruch{AE^J-1}{E^J-1}*(E-1).
[/mm]
Du kannst mal obige Zahlen einsetzen, und wenn du dich nicht verrechnest...
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