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| Aufgabe | Berechnen Sie die Eckpunkte des Polyeders:
[mm] P:=\{x\in \IR^{3}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 , 2x_{1}+3x_{2}=1,x\ge 0\} [/mm] |
Wie muss ich hierbei vorgehen? Muss ich das Gleichungssystem aus beiden Gleichungen lösen oder muss ich beide gleichsetzen?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 So 05.07.2009 | | Autor: | adlerbob |
Ich wurde zuerst versuchen den Polyeder zu zeichnen. dann kanst du besser sehen wo seine Ecken sind.
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> Berechnen Sie die Eckpunkte des Polyeders:
> [mm]P:=\{x\in \IR^{3}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 , 2x_{1}+3x_{2}=1,x\ge 0\}[/mm]
>
> Wie muss ich hierbei vorgehen? Muss ich das
> Gleichungssystem aus beiden Gleichungen lösen oder muss
> ich beide gleichsetzen?
> Danke
Hallo hannahmaontana,
ein eigentliches "Polyeder" gibt dies meiner
Ansicht nach gar nicht, sondern vielleicht
nur ein eindimensionales "Monoeder" oder
gar "Zeroeder" mit einer einzigen Ecke, näm-
lich einen Strahl im [mm] \IR^3.
[/mm]
Deine erste Gleichung beschreibt eine Ebene,
die zweite ebenfalls. Diese beiden Ebenen
schneiden sich längs einer Geraden. Die
zusätzliche Ungleichung (genau sollte sie
wohl [mm] x_1\ge [/mm] 0 lauten, oder wie denn genau ?)
lässt von der Geraden eine Halbgerade bzw.
einen Strahl übrig. Als einzige "Ecke" dieses
doch etwas sehr speziellen "Polyeders" könnte
man dann den Anfangspunkt des Strahls
bezeichnen.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 So 05.07.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Hallo
mit [mm] x\ge [/mm] 0 ist wohl [mm] x_1 \ge [/mm] 0, [mm] x_2 \ge [/mm] 0 und [mm] x_3 \ge [/mm] 0 gemeint, sodass wir hier 5 Ebenenungleichungen haben, die wirklichen einen Polyeder abgrenzen.
Grüße Patrick
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$ [mm] P:=\{x\in \IR^{3}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 , 2x_{1}+3x_{2}=1,x\ge 0\} [/mm] $
> Hallo
>
> mit [mm]x\ge[/mm] 0 ist wohl [mm]x_1 \ge[/mm] 0, [mm]x_2 \ge[/mm] 0 und [mm]x_3 \ge[/mm] 0
> gemeint, sodass wir hier 5 Ebenenungleichungen haben, die
> wirklichen einen Polyeder abgrenzen.
>
> Grüße Patrick
Hallo Patrick,
ich sehe oben aber nur eine "Ungleichung"
und dazu zwei Ebenen-Gleichungen. Dazu ist
eine "Ungleichung" der Form [mm] x\ge0, [/mm] wobei x
ein Dreiervektor ist, ebenso sinnlos wie eine
Ungleichung [mm] z\ge0 [/mm] im Bereich der komplexen
Zahlen. Von Leuten, die Mathematikaufgaben
stellen, darf man eine präzise Ausdrucksweise
erwarten.
Wenn man die Aufgabe nach deinem Vorschlag
uminterpretieren will, sollte P so definiert
werden:
$ [mm] P:=\{x\in \IR^{3}:\ x_{1}+x_{2}+x_{3}\le1\,,\, 2x_{1}+3x_{2}\le1\,,\, x_1\ge 0\,,\, x_2\ge 0\,,\, x_3\ge 0\} [/mm] $
LG Al-Chwarizmi
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> mit [mm]x\ge[/mm] 0 ist wohl [mm]x_1 \ge[/mm] 0, [mm]x_2 \ge[/mm] 0 und [mm]x_3 \ge[/mm] 0
> gemeint, sodass wir hier 5 Ebenenungleichungen haben, die
> wirklichen einen Polyeder abgrenzen.
genau so
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Die zusätzliche Ungleichung soll heißen: [mm] x=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \ge [/mm] 0, also [mm] x_{i}\ge [/mm] 0
Aber wie kann ich das ohne zeichnen lösen? Weil zeichnen soll man hier nicht.
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> Die zusätzliche Ungleichung soll heißen: [mm]x=\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} \ge[/mm]
> 0, also [mm]x_{i}\ge[/mm] 0
> Aber wie kann ich das ohne zeichnen lösen? Weil zeichnen
> soll man hier nicht.
Hallo hannahmaontana,
bei Aufgaben mit geometrischem Hintergrund
zu verlangen, dass man nicht zeichnen solle,
finde ich zwar eine etwas stumpfsinnige
Forderung. Im vorliegenden Fall habe ich
aber dafür ein Stück weit Verständnis,
weil das wohl eine Vorübung zum Simplex-
verfahren ist, das man dann so implemen-
tieren muss, dass es vom Computer durch-
geführt werden kann, ohne jegliches
geometrische Verständnis.
Zur genauen Definition des Polyeders ist wie
schon gesagt wichtig, dass Ungleichungen
vorgegeben werden und nicht Gleichungen.
In dem Beispiel bin ich noch nicht sicher,
ob ich mir das richtige Polyeder vorstelle
(natürlich anschaulich). Schau also bitte
nach, ob da in der Definition von P nicht
doch Ungleichungen stehen. So wie es
da stand,gibt es nämlich wirklich kein
Polyeder, auch wenn wir jetzt die Unglei-
chungen [mm] x_1\ge [/mm] 0 noch dazu nehmen,
sondern eine Strecke mit genau zwei
End- bzw. "Eckpunkten".
Als Eckpunkte kommen natürlich grund-
sätzlich einmal (solange man die Richtungen
der Ungleichungen noch nicht berücksich-
tigt, alle Schnittpunkte von je drei der fünf
begrenzenden Ebenen in Frage.
Eine kombinatorische Überlegung zeigt,
dass es maximal 10 solche Schnittpunkte
geben kann. Bei den vorliegenden sehr
einfachen Gleichungen sollte es nicht so
schwer fallen, diese alle zu berechnen.
In einem zweiten Schritt muss man dann
nachrechnen, welche dieser max. 10 Punkte
tatsächlich zum Polyeder gehören. Zu
diesem Zweck muss man prüfen, ob
die Koordinaten eines Eckpunktes auch
die anderen zwei Ungleichungen erfüllen
(die zu den Gleichungen, die zur Berech-
nung eines Schnittpunktes nicht benützt
wurden).
LG Al-Chw.
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Schau also bitte
> nach, ob da in der Definition von P nicht
> doch Ungleichungen stehen. So wie es
> da stand,gibt es nämlich wirklich kein
> Polyeder,
Es stehen da aber gleichungen und keine Ungleichungen, ich habe nochmal nachgeschaut.
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> > Schau also bitte nach, ob da in der
> > Definition von P nicht doch Unglei-
> > chungen stehen. So wie es da stand,
> > gibt es nämlich wirklich kein Polyeder.
> Es stehen da aber Gleichungen und keine
> Ungleichungen, ich habe nochmal
> nachgeschaut.
Na gut, wenn du die Definition
$ [mm] P:=\{x\in \IR^{3}:x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 , 2x_{1}+3x_{2}=1,x_1\ge0,x_2\ge0,x_3\ge0\} [/mm] $
so akzeptieren willst, wie sie jetzt da
steht (mit den zwei Ebenengleichungen
und den 3 Ungleichungen für die [mm] x_i), [/mm]
dann ist es eben eine sehr leichte Aufgabe.
P muss eine Teilmenge der Schnittgerade
der beiden Ebenen
[mm] E_1: [/mm] $\ [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$
[/mm]
[mm] E_2: [/mm] $\ [mm] 2x_{1}+3x_{2}=1$
[/mm]
sein. Das "Polyeder" ist eine Strecke.
Der eine "Eckpunkt" bzw. Endpunkt
liegt in der Ebene [mm] x_1=0, [/mm] der andere in
der Ebene [mm] x_2=0.
[/mm]
LG Al
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