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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Sa 09.04.2005 | | Autor: | k3nny |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi ich hab mal wieder ein paar Fragen zu einer Aufgabe
[mm] \varepsilon(k): [/mm] x-2y+kz=0
a) Zeigen Sie, dass alle Ebenen [mm] \varepsilon(k) [/mm] eine Gerade g gemeinsam haben. Ermitteln Sie eine Parametergleichung von g!
b) Zu jeder Ebene [mm] \varepsilon(k) [/mm] der Schar gibt es eine zu ihr parallele Ebene [mm] \varepsilon*(k) [/mm] die durch den Punkt P(-1/1/-1) geht. Ermitteln Sie eine Normalengleichung von [mm] \varepsilon*(k) [/mm] .Für welches k [mm] \in \IR [/mm] fällt [mm] \varepsilon(k) [/mm] mit [mm] \varepsilon*(k) [/mm] zusammen?
c) Untersuchen Sie, ob es zu jeder Ebene [mm] \varepsilon(k) [/mm] eine auf ihre senkrechte Ebene [mm] \varepsilon*(h) [/mm] mit h [mm] \in \IR [/mm] gibt. Ermitteln Sie h für k=1, bestimmen Sie die zugehörige Ebenengleichungen und ermitteln Sie für diese Ebenen die Spurgerade in den drei Koordinatenebenen.
Meine Überlegungen:
zu a)
Könnte man nicht einfach eine Normalenform der Ebene bestimmen, die da
x* [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ k} [/mm] = 0 lautet. Nun findet man einfach 2 Punkte in dieser Ebene die unabhängig von k auftreten, wie z.B. [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 0} [/mm] und bildet mit diesen die gesuchte Gerade? Also [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] +r* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] ??? Ist es wirklich so einfach oder hab ich da nen Denkfehler?
zu b)
Parallel bedeutet dass der Normalenvektor bleibt und eine neue Normalengelchung entsteht x* [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ k}= \vektor{-1 \\ 1 \\ -1}* \vektor{1 \\ -2 \\ k} [/mm] <=> x* [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ k}=-3-k [/mm] . Für k=-3 fällt dann [mm] \varepsilon(k) [/mm] mit [mm] \varepsilon*(k) [/mm] zusammen!(?)
zu c)
Eine senkrechte Ebene würde ich mit dem Normalenvektor von [mm] \varepsilon(k) [/mm] und dem Richtungsvektor der errechneten Gerade aus a) bilden. Der neue Normalenvektor lautet dann [mm] \vektor{k \\ -2k \\ -5} [/mm] und die senkrechte Ebene dementsprechend [mm] x*\vektor{k \\ -2k \\ -5}=\vektor{k \\ -2k \\ -5}*\vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] <=> [mm] x*\vektor{k \\ -2k \\ -5}=-k
[/mm]
Für k=1 lauten die Ebenengleichungen [mm] \varepsilon(k)= [/mm] x* [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] = 0 und [mm] \varepsilon*(k) x*\vektor{1 \\ -2 \\ -5}=-1
[/mm]
So weit bin ich bis jetzt gekommen, kann mir irgendwer vllt. mit den Spurgeraden weiterhelfen?
THX schonmal im Vorraus ^^
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Hallo k3nny,
a) aus [mm] $\vektor{2\\1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{4\\2\\0}$ [/mm] (bzw [mm] $\vektor{0\\0\\0}$) [/mm] kann man tatsächlich die gesuchte Gerade bestimmt:
[mm] $g(t)=t\vektor{2\\1\\0}$.
[/mm]
b) Auch das stimmt: Du kommst auf die Normalengleichung $x-2y+kz=-3-k$, insbesondere fallen [mm] $\epsilon*(-3)$ [/mm] und [mm] $\epsilon(-3)$ [/mm] zusammen.
c) Bei der senkrechten Ebene würde ich eigentlich davon ausgehen, dass mit [mm] $\epsilon*$ [/mm] dasselbe bezeichnet wird wie in Teil b). Ansonsten ist die Ebene nämlich nicht eindeutig.
Damit [mm] $\epsilon*(h)$ [/mm] senkrecht auf [mm] $\epsilon(k)$ [/mm] steht, muss der Normalenvektor von [mm] $\epsilon*(h)$ [/mm] in [mm] $\epsilon(k)$ [/mm] liegen (eigentlich ein Richtungsvektor von [mm] $\epsilon(k)$ [/mm] sein, aber wegen [mm] $(0,0,0)\in \epsilon(k)$ [/mm] ist das äquivalent).
Und das ist erfüllt, falls [mm] $\left<\vektor{1\\-2\\h};\vektor{1\\-2\\k}\right>=1+4+hk=0$. [/mm] Probleme gibt es nur für $k=0$, sonst kann man [mm] $h=-\bruch{5}{k}$ [/mm] wählen.
Dann wäre das zu $1$ gehörige $h=-5$ und die zugehörige Normalengleichung $x-2y-5z=2$. Die Spurgeraden kann man jetzt dadurch errechnen, dass man eine zweite Normalengleichung einführt:
z.B. $x-2y-5z=2$, $x=0$.
Zwei Vektoren, die diese Gleichungen erfüllen, sind [mm] $\vektor{0\\-1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\3\\-1}$. [/mm] Daraus kannst du die Spurgerade bilden.
Die anderen beiden Spurgeraden solltest du jetzt eigentlich selber bestimmen können...
Gruß, banachella
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