Ebenenscharen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Di 14.09.2004 | | Autor: | zq2001 |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
hallöchen ihr lieben,
mir liegt hier eine ebenenschar vor x = (4;0;0) + r(-4;3;0) + s(-4;0;5t) (alles vektoren!!!) außerdem ist die gerade g mit 3x + 4y - 12 = 0 gegeben.
jetz liegt mir unteranderen die aufgabe dazu vor:
a) hab ich schon allein gemacht
b) Weisen sie nach dass die gerade g in jeder der Ebenen Et liegt.Es existiert eine Ebene E*, die ebenfalls die gerade g enthält, aber nicht zu den Ebenen Et gehört... ermitteln sie eine gleichung der ebene E* in koordinatenform.
c) Welche der Ebenen, die die Gerade g enthalten, hat zum koordinatenursprung den größten abstand? Begründen sie!
d) Der abstand d des koordinatenursprungs zu einer ebene Et ist eine funktion von t. ermitteln sie eine gleichung dieser funktion!
zu meine Lösungsansätze:
b) dacht ich mir so das alle ebenen nur die schnittgerade gleich haben und diese muss in der x-y-ebene liegen, da ja t den z-wert ändert (sieht man in der koordinatenschreibweise besser). dann hab ich 2 punkte festgelegt mit z=0... geradengleichung gebildet mit den beiden punkten und mit der gegebenen gerade verglichen.
und bei dem 2. teil der aufgabe hab ich keine ahnung wie das gehen soll.
c) fehlt mir irgendwie auch der logische hintergedanke, weil ja je größer t wird desto größer wird ja auch der abstand. könnte höchstens so sein das der größter abstand dann erreicht ist wenn die ebene othogonal zur x-y-ebene ist. weiß ich aber nich so genau. wenn das stimmt krieg ich das auch bestimmt auch allein hin! müsst nur sagen wenns tatsache stimmt!
d)da hab ich komplettes black out.
ich bitte euch um hilfe!
|
|
| |
|
Hallo!
Eine Gerade im Raum hat entweder zwei Gleichungen in Koordinatenform, oder eine Gleichung in Vektorenform. Bei dir g ist keine Gerade, sondern eine Ebene. Bitte korrigiere das!
Schöne Grüße, 
Ladis
|
|
|
| |
|
Hallo!
> mir liegt hier eine ebenenschar vor x = (4;0;0) +
> r(-4;3;0) + s(-4;0;5t) (alles vektoren!!!) außerdem ist die
> gerade g mit 3x + 4y - 12 = 0 gegeben.
>
> jetz liegt mir unteranderen die aufgabe dazu vor:
> a) hab ich schon allein gemacht
>
> b) Weisen sie nach dass die gerade g in jeder der Ebenen Et
> liegt.Es existiert eine Ebene E*, die ebenfalls die gerade
> g enthält, aber nicht zu den Ebenen Et gehört... ermitteln
> sie eine gleichung der ebene E* in koordinatenform.
>
> c) Welche der Ebenen, die die Gerade g enthalten, hat zum
> koordinatenursprung den größten abstand? Begründen sie!
>
> d) Der abstand d des koordinatenursprungs zu einer ebene Et
> ist eine funktion von t. ermitteln sie eine gleichung
> dieser funktion!
>
>
> zu meine Lösungsansätze:
> b) dacht ich mir so das alle ebenen nur die schnittgerade
> gleich haben und diese muss in der x-y-ebene liegen, da ja
> t den z-wert ändert (sieht man in der
> koordinatenschreibweise besser). dann hab ich 2 punkte
> festgelegt mit z=0... geradengleichung gebildet mit den
> beiden punkten und mit der gegebenen gerade verglichen.
Verstehe ich nicht ganz, aber irgendwie wirst Du schon auf die Schnittgerade gekommen sein  Ich habe alternativ die Parametergleichung für die Gerade aufgestellt und gesehen, dass der 1. Teil der Ebene die Gerade beschreibt, nämlich:
[mm]\vektor{4\\0\\0} + r\vektor{4\\-3\\0}[/mm]
Aber Deine Methode funktioniert natürlich auch.
> und bei dem 2. teil der aufgabe hab ich keine ahnung wie
> das gehen soll.
Hm, darüber musste ich auch ein Weilchen nachdenken. Ich denke, die Ebene, die nicht erreicht wird durch die Kurvenschar, ist diejenige, die senkrecht auf der x-y-Ebene steht. Kannst Du ja mal ausprobieren, z.B. den Punkt
[mm] \vektor{4\\0\\1}[/mm]
wirst Du nicht als Punkt der Ebenenschar hinbekommen. Deshalb lautet die gesuchte Ebene (in Parameterform)
[mm]\vektor{4\\0\\0} + r\vektor{4\\-3\\0}+s\vektor{0\\0\\1}.[/mm]
Den Rest schaffst Du ja nun bestimmt alleine.
> c) fehlt mir irgendwie auch der logische hintergedanke,
> weil ja je größer t wird desto größer wird ja auch der
> abstand. könnte höchstens so sein das der größter abstand
> dann erreicht ist wenn die ebene othogonal zur x-y-ebene
> ist. weiß ich aber nich so genau. wenn das stimmt krieg ich
> das auch bestimmt auch allein hin! müsst nur sagen wenns
> tatsache stimmt!
So ist es. Das denke ich auch.
> d)da hab ich komplettes black out.
Versuch doch mal, eine beliebige Ebene der Schar in der Hesse-Normalform darzustellen. Da kannst Du ja dann den Abstand zum Ursprung ablesen (in Abhängigkeit von $t$), und das sollte die gesuchte Funktion sein.
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 15.09.2004 | | Autor: | zq2001 |
erstmal danke für die hilfe, aber ich versteh immernoch nicht, wie du auf den vektor (4;0;1) kekommen bist bei der suche nach der ebene E*. hört sich alles toll an aber ich will es ja auch verstehen. immerhin ist mathe mein 1. prüfungsfach. *grins*
also wenn du noch mal 5 minuten zeit findest wärs lieb wenn du das mir nochmal idiotensicher erklärst. wär super lieb
cathleen
|
|
|
| |
|
Hallo Cathleen!
OK, ich probiere es Aber nicht böse sein, wenn es schlecht erklärt ist.
Wir haben ja schon festgestellt, dass die gegebene Gerade der erste Teil der Ebenengleichung ist. Dann wollen wir mal sehen, was der
letzte Teil dann noch bewirkt. Dieser gibt ja den zweiten Richtungsvektor an, was man auch interpretieren könnte, als zweite Gerade,
zusammen mit dem Aufpunkt [mm] $\vektor{4\\0\\0}$. [/mm] Also betrachten wir nur den Teil
[mm] \vektor{4\\0\\0} + s\vektor{-4\\0\\5t}[/mm]
Du siehst, dass die $y$-Koordinate hier nichts beiträgt. Daher konzentrieren wir uns auf $x=4-4s$ und $z=5ts$. Man rechnet schnell nach,
dass gilt
[mm]5tx+4z=20t,[/mm]
das heißt
[mm] z=5t-\frac{5t}{4}x.[/mm]
Das ist also die Gerade, die in der x-z-Ebene liegt. Du siehst, dass der Achsenabschnitt jeden beliebigen reellen Wert annehmen kann ($5t$), und
die Steigung dann jeweils ein Viertel davon beträgt. Je größer $|t|$, desto steiler die Gerade. Du wirst aber nicht hinbekommen, dass die
Gerade senkrecht nach oben geht, weil das einer unendlichen Steigung entsprechen würde, und dann wäre es keine Funktion mehr. Man
bildet quasi den Grenzwert [mm] $t\rightarrow \infty$ [/mm] und stellt fest, dass dann der Vektor [mm] $\vektor{0\\0\\1}$ [/mm] herauskommt.
Ohne Formeln: [mm] $\vektor{-4\\0\\5t}$ [/mm] bedeutet ja, dass Du Dich in x-Richtung ein kleines Stück bewegst und in z-Richtung je nach $t$
ein kleines oder auch sehr großes Stück. Aber egal, wie groß $|t|$ ist, Du gehst niemals ganz senkrecht nach oben (also in $z$-Richtung),
weil Du Dich gleichzeitig auch noch in $x$-Richtung bewegst.
Langt das so als Erklärung? Sicherlich gibt es elegantere Lösungen als diese hier. Wem's einfällt, darf sie gerne hinzufügen. Vielleicht
mit der Berechnung von Winkeln (zwischen der Ebene [mm] $\epsilon_t$ [/mm] und der x-y-Ebene) oder so...
Liebe Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Do 16.09.2004 | | Autor: | zq2001 |
ich danke dir nochmal...
ich glaub ich habs jetz verstanden. hab auch gestern nochmal drüber nachgedacht und das war dann doch ziemlich logisch. hab auch noch nachgewiesen warum die ebene nich senkrecht werden kann mit winkel zwischen den normalenvektoren. ganz großes danke nochmal
|
|
|
|
