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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 08.11.2010 | | Autor: | MtheRulz |
| Aufgabe | Für welche t-Werte berührt die Ebene E die Kugel K?
E: x+2y+2z-t=0
K: [mm] x^2+y^2+z^2-10x-10y-6z+23=0 [/mm] |
Ich hab die Frage schon hier http://www.onlinemathe.de/forum/Ebenenschar-und-Kugel und hier http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1243020#post1243020 gepostet
Als theoretische Mittelpunkte der Schnittkreise hab ich M((t/9 + 8/3 )|( t/9 + 1/3)|( t/9 - 5/3 )) heraus.
Wenn ich jetzt den Abstand von meinem hypothetischen Schnittkreismittelpunkt zum Kugelmittelpunkt berechne, dann bekomme ich:
d= 29 - 50/27 t + 1/27 [mm] t^2
[/mm]
Wenn ich das mit dem Kugelradius r=6 gleichsetze, um den Berührpunkt zu bestimmen, dann komme ich (mit p-q-Formel natürlich) auf t=23 und t=27. Das war meine Überlegung. Stimmt das so?
Vielen Dank und Grüße,
Ahmet
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Hallo Ahmet,
ich habe nur die Ergebnisse überprüft und komme auf andere
t- Werte. Der eine davon ist 39
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Mo 08.11.2010 | | Autor: | MtheRulz |
Aber wie kommt man dann darauf? Dann hab ich ja etwas grundlegend falsch gemacht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 08.11.2010 | | Autor: | MtheRulz |
So... ich bin nochmal in mich gegangen und mir fehlt es absolut an neuen Ansätzen... ich kann immer noch nicht nachvollziehen, warum mein alter Ansatz falsch ist, freue mich aber auch über neue Ansätze
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Hallo
Deinen Ansatz:
"Als theoretische Mittelpunkte der Schnittkreise hab ich
M((t/9 + 8/3 )|( t/9 + 1/3)|( t/9 - 5/3 ))
heraus. Wenn ich jetzt den Abstand von meinem hypothetischen
Schnittkreismittelpunkt zum Kugelmittelpunkt berechne, dann
bekomme ich:
d= 29 - 50/27 t + 1/27 [mm] $\blue{t^2}$
[/mm]
Wenn ich das mit dem Kugelradius r=6 gleichsetze, um den
Berührpunkt zu bestimmen, dann komme ich (mit p-q-Formel
natürlich) auf t=23 und t=27."
kann ich nicht wirklich nachvollziehen. Wie bist du z.B. auf die
Formeln für den Mittelpunkt eines Schnittkreises (zum Parameter-
wert t) gekommen ? Ich denke, dass diese falsch sind.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 08.11.2010 | | Autor: | MtheRulz |
Also ich hab eine Gerade aufgestellt, die durch den Kugelmittelpunkt Km(5|5|3) geht und auf dem verktor (1|2|2) liegt.
Dabei kommt dann heraus:
vektorr=(5|5|3) + /lambda (1|2|2)
Wenn ich das nun in die Kreisgleichung mit [vektorr - [mm] (5|5|3)]^2 [/mm] = 36 einsetze, dann bekomme ich das Ergebnis /lambda= t/9 - 21/9 .
Und das dann wiederum in meine Gerade ergibt doch den Mittelpunkt des Schnittkreises (s. erste Fragestellung).
Mir fiele da jetzt auch nichts anderes ein...
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> Also ich hab eine Gerade aufgestellt, die durch den
> Kugelmittelpunkt Km(5|5|3) geht und auf dem verktor (1|2|2)
> liegt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
eine Gerade, die auf einem Vektor liegt ?
was soll man sich darunter vorstellen ?
Der Vektor ist Richtungsvektor der Geraden. Die Gerade
ist die Normale zur Ebene, welche durch den Kugelmittelpunkt
geht.
> Dabei kommt dann heraus:
>
> vektorr=(5|5|3) + /lambda (1|2|2)
>
> Wenn ich das nun in die Kreisgleichung mit [vektorr -
> [mm](5|5|3)]^2[/mm] = 36 einsetze, dann bekomme ich das Ergebnis
> /lambda= t/9 - 21/9 . ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
du hast ja gar keine Kreisgleichung !
du solltest die Normale mit der Ebenengleichung (für die
Ebene [mm] E_t) [/mm] schneiden
Nach dem obigen Anfang mit der Normalen gäbe es einen
ganz einfachen Weg: einfach von Km aus den Radius r=6
entlang der Normalen beidseitig abtragen. Das ergibt die
beiden Berührpunkte der beiden möglichen Tangential-
ebenen mit der Kugel. Dann die zugehörigen t-Werte
berechnen.
LG Al-Chw.
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Sorry, da waren Formulierungsfehler drin...
Ich hab die Geradengleichung natürlich in die Ebenengleichung eingesetzt:
(1|2|2)*((5|5|3)+/lambda(1|2|2))=t
So komme ich halt wie gesagt auf /lampda = t/9 - 21/9 .
Und damit hab ich dann wie gesagt weitergerechnet (Länge der Strecke zwischen diesem Schnittkreismittelpunkt und dem Kugelmittelpunkt, gleichgesetzt mit Radius r=6,... Ergebnis s. oben).
Das mit dem Abtragen verstehe ich leider gerade nicht ganz... also wenn ich +6 und -6 in die Normalengleichung einsetze, dann hab ich die Punkte (11|17|15) und (-1|-7|-9). Wie verfahre ich damit jedoch weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 08.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo MtheRulz,
> Sorry, da waren Formulierungsfehler drin...
> Ich hab die Geradengleichung natürlich in die
> Ebenengleichung eingesetzt:
>
> (1|2|2)*((5|5|3)+/lambda(1|2|2))=t
woher hast du denn diese sonderbare Gleichung ?
> So komme ich halt wie gesagt auf /lambda = t/9 - 21/9 .
> Und damit hab ich dann wie gesagt weitergerechnet (Länge
> der Strecke zwischen diesem Schnittkreismittelpunkt und dem
> Kugelmittelpunkt, gleichgesetzt mit Radius r=6,... Ergebnis
> s. oben).
>
> Das mit dem Abtragen verstehe ich leider gerade nicht
> ganz... also wenn ich +6 und -6 in die Normalengleichung
> einsetze, dann hab ich die Punkte (11|17|15) und
> (-1|-7|-9). Wie verfahre ich damit jedoch weiter?
Natürlich nicht einfach für [mm] \lambda [/mm] die Werte +6 und -6
einsetzen !
Du musst dir zuerst klar machen, welche Länge der
benützte Richtungsvektor (1|2|2) hat.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Di 09.11.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
> Für welche t-Werte berührt die Ebene E die Kugel K?
>
> E: x+2y+2z-t=0
> K: [mm]x^2+y^2+z^2-10x-10y-6z+23=0[/mm]
....
Im Berührfall hat der Kugelmittelpunkt M mit dem Ortsvektor [mm] $\vec [/mm] m$ den Abstand (<-- das ist ein Betragswert!) r von der Ebene.
Abstandsberechnung über Hessesche Normalenform ergibt:
[mm] $\left| \dfrac{\vec n \cdot \vec m - t}{|\vec n|} \right| [/mm] = r$
Mit [mm] $\vec [/mm] n = [mm] \vektor{1\\2\\2}$ [/mm] und [mm] $\vec [/mm] m = [mm] \vektor{5\\5\\3}$ [/mm] ergibt sich:
[mm] $\left| \frac{\vektor{1\\2\\2} \cdot \vektor{5\\5\\3} - t}{3} \right| [/mm] = 6$
Löse diese Gleichung nach t auf.
Salve
Pappus
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