Ebenenschar aufstellen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Fr 25.03.2005 | | Autor: | bindik |
Hallo, erstmal...
bin neu hier, kann also sein, dass ich etwas falsch mache...ich hoffe ihr nehmt es mir nicht übel.
Also fangen wir mal an:
gegeben haben wir:
Ebene durch x+y+z=4,
Kugel K mit ( [mm] x-5)^{2}+(y-3)^{2}+ (z-5)^{2} [/mm] = 36
und P (1/-1/3)
So, nun zur 1. Aufgabe:
Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene T, die die Kugel in P berührt:
Also da habe ich den Vektor [mm] \overline{MP} [/mm] als Normalenvektoer der Ebene und den Punkt P als Stützvektor genommen.
Somit habe ich folgende Ebenengleichung in Normalenform:T: [mm] \{ \vec{x}- \vektor{1 \\ -1 \\ 3} \}*\vektor{-4 \\ -4 \\ -2} [/mm] = 0
Ich hoffe soweit ist das richtig.
Nun zum Problem:
Aufgabe: Die zu T parallelen Ebenen , die die Kugel K schneiden , bilden eine Ebenenschar E(k). Ermittle die zulässigen Werte von k [mm] \in \IR [/mm] und bestimme eine Gleichung der Schar.
Also, das Problem ist, dass wir sowas nie gemacht haben...also sind das alles was jetzt kommt reine Überlegungen und Vermutungen:
Da die Ebenen ja alle parallel sind, bleibt der Normalenvektor ja gleich. Nur der Stützvektor ändert sich, muss also in Abhängigkeit von k dargestellt werden.
Richtig?
Meine Überlegung ist nun: Die eine Grenze der Stützpunkte ist durch den Punkt P gegeben, da dieser der Berührpunkt von T und K ist.
Durch die Spiegelung von P an M ( Mittelpunkt des Kreises) erhalte ich die andere Grenze: die wäre hier P' ( 9/7/7)
das heisst also , dass ich mich mit meinem Stützvektor zwischen P und P' bewegen muss, da die Kugel ja geschnitten werden muss, dabei darf ich P und P' nicht als Stützvektoren verwenden, da diese ja Berührpunkte sind.
Nun habe ich mir überlegt, dass der Stützvektor von E(k) folgendermaßen aussehen müsste: [mm] \vektor{1 + 2k \\ -1 + 2k \\ 3 + k} [/mm] wobei für k gilt: 0<k<4, da ich die Grenzen ja nicht überschreiten darf.
Demnach müsste meine Ebenenschar lauten: [mm] \{ \vec{x}- \vektor{1 + 2k \\ -1 + 2k \\ 3 + k} \}*\vektor{-4 \\ -4 \\ -2} [/mm] = 0
Nun weiss ich nicht, ob das so richtig ist, da wir, wie gesagt, sowas noch nie gemacht haben. Aber für mich ist meine Lösung sehr logisch 
Wäre super wenn ihr mir helfen würdet.
Vielen Dank im Vorraus.
Ach ja, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Fr 25.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo, erstmal...
> bin neu hier, kann also sein, dass ich etwas falsch
> mache...ich hoffe ihr nehmt es mir nicht übel.
>
> Also fangen wir mal an:
>
> gegeben haben wir:
> Ebene durch x+y+z=4,
Kleine Frage, wozu diese Ebene, sie kommt in der Fragestellung gar nicht vor.
> Kugel K mit ( [mm]x-5)^{2}+(y-3)^{2}+ (z-5)^{2}[/mm] = 36
> und P (1/-1/3)
>
> So, nun zur 1. Aufgabe:
>
> Ermittle eine Gleichung der Tangentialebene T, die die
> Kugel in P berührt:
>
> Also da habe ich den Vektor [mm]\overline{MP}[/mm] als
> Normalenvektoer der Ebene und den Punkt P als Stützvektor
> genommen.
>
> Somit habe ich folgende Ebenengleichung in Normalenform:T:
> [mm]\{ \vec{x}- \vektor{1 \\ -1 \\ 3} \}*\vektor{-4 \\ -4 \\ -2}[/mm]
> = 0
>
> Ich hoffe soweit ist das richtig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun zum Problem:
>
> Aufgabe: Die zu T parallelen Ebenen , die die Kugel K
> schneiden , bilden eine Ebenenschar E(k). Ermittle die
> zulässigen Werte von k [mm]\in \IR[/mm] und bestimme eine Gleichung
> der Schar.
>
>
> Also, das Problem ist, dass wir sowas nie gemacht
> haben...also sind das alles was jetzt kommt reine
> Überlegungen und Vermutungen:
>
> Da die Ebenen ja alle parallel sind, bleibt der
> Normalenvektor ja gleich. Nur der Stützvektor ändert sich,
> muss also in Abhängigkeit von k dargestellt werden.
>
> Richtig?
>
> Meine Überlegung ist nun: Die eine Grenze der Stützpunkte
> ist durch den Punkt P gegeben, da dieser der Berührpunkt
> von T und K ist.
> Durch die Spiegelung von P an M ( Mittelpunkt des Kreises)
> erhalte ich die andere Grenze: die wäre hier P' ( 9/7/7)
>
> das heisst also , dass ich mich mit meinem Stützvektor
> zwischen P und P' bewegen muss, da die Kugel ja geschnitten
> werden muss, dabei darf ich P und P' nicht als
> Stützvektoren verwenden, da diese ja Berührpunkte sind.
Das hängt ein bisschen von der Definition von schneiden ab. Ich würde den Berührungsfall auch als Schnittpunkt interpretieren (schneiden = gemeinsamen Punkt haben).
>
> Nun habe ich mir überlegt, dass der Stützvektor von E(k)
> folgendermaßen aussehen müsste: [mm]\vektor{1 + 2k \\ -1 + 2k \\ 3 + k}[/mm]
> wobei für k gilt: 0<k<4, da ich die Grenzen ja nicht
> überschreiten darf.
>
> Demnach müsste meine Ebenenschar lauten: [mm]\{ \vec{x}- \vektor{1 + 2k \\ -1 + 2k \\ 3 + k} \}*\vektor{-4 \\ -4 \\ -2}[/mm]
> = 0
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> Nun weiss ich nicht, ob das so richtig ist, da wir, wie
> gesagt, sowas noch nie gemacht haben. Aber für mich ist
> meine Lösung sehr logisch
In der Tat, sehr logisch.
mfG Moudi
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> Wäre super wenn ihr mir helfen würdet.
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> Vielen Dank im Vorraus.
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> Ach ja, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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