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Ebenenschar: P.-Form->KO-Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 So 15.11.2009
Autor: kaiD

Aufgabe
[mm] E_{a}: \vec{x}= \vektor{1 \\ 1 \\ -8} [/mm] + r* [mm] \vektor{-a \\ 0 \\ -2} [/mm] + s* [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm]
Bestimmen sie eine Koordinatenform der Ebenenschar [mm] E_{a}! [/mm]
(mögl. Lösung: [mm] E_{a}: 2x_{1} [/mm] + [mm] (4-2a)x_{2} [/mm] - [mm] ax_{3} [/mm] = 6+6a

Hallo,
trotz einer gegebenen möglichen Lösung, komme ich nicht auf ein Ergebnis, dass ansatzweise so aussieht.
Mein erster Ansatz war eine handelsübliche Umformung, bei der ich auf
s= [mm] 1-x_{2} [/mm]
r = [mm] (1-2x_{2}+2-x_{1}) [/mm] / a
komme. Nun sehe ich allerdings schon, dass ich so nicht auf die mögliche Lösung komme.

Ansatz Nr. 2 wäre das suchen eines Normalenvektors, wo ich allerdings schon am Anfang bei
-a [mm] n_{1} [/mm] - 2 [mm] n_{2} [/mm] = 0
2 [mm] n_{1} [/mm] - [mm] n_{2} [/mm] + 2 [mm] n_{3} [/mm] = 0
scheitere.

Kann mir jemand behilflich sein? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch, da Umformungen ja nicht zu den schwersten Aufgaben zählen...

Danke!

        
Bezug
Ebenenschar: P.-Form->KO-Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:34 So 15.11.2009
Autor: MathePower

Hallo KaiD,

> [mm]E_{a}: \vec{x}= \vektor{1 \\ 1 \\ -8}[/mm] + r* [mm]\vektor{-a \\ 0 \\ -2}[/mm]
> + s* [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>  Bestimmen sie eine
> Koordinatenform der Ebenenschar [mm]E_{a}![/mm]
>  (mögl. Lösung: [mm]E_{a}: 2x_{1}[/mm] + [mm](4-2a)x_{2}[/mm] - [mm]ax_{3}[/mm] =
> 6+6a
>  Hallo,
>  trotz einer gegebenen möglichen Lösung, komme ich nicht
> auf ein Ergebnis, dass ansatzweise so aussieht.
>  Mein erster Ansatz war eine handelsübliche Umformung, bei
> der ich auf
>  s= [mm]1-x_{2}[/mm]
>  r = [mm](1-2x_{2}+2-x_{1})[/mm] / a
>  komme. Nun sehe ich allerdings schon, dass ich so nicht
> auf die mögliche Lösung komme.
>  
> Ansatz Nr. 2 wäre das suchen eines Normalenvektors, wo ich
> allerdings schon am Anfang bei
>  -a [mm]n_{1}[/mm] - 2 [mm]n_{2}[/mm] = 0
>  2 [mm]n_{1}[/mm] - [mm]n_{2}[/mm] + 2 [mm]n_{3}[/mm] = 0
>  scheitere.
>  
> Kann mir jemand behilflich sein? Ich stehe irgendwie auf
> dem Schlauch, da Umformungen ja nicht zu den schwersten
> Aufgaben zählen...


Es bietet sich hier an, aus den Gleichungen

[mm]x_{2}=1-s[/mm]

[mm]x_{3}=-8-2*r+2*s[/mm]

die Parameter r und s zu bestimmen,
und in die verbleibende Gleichung

[mm]x_{1}=1-a*r+2*s[/mm]

einzusetzen.


> Danke!



Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Ebenenschar: P.-Form->KO-Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:28 So 15.11.2009
Autor: glie


> [mm]E_{a}: \vec{x}= \vektor{1 \\ 1 \\ -8}[/mm] + r* [mm]\vektor{-a \\ 0 \\ -2}[/mm]
> + s* [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 2}[/mm]
>  Bestimmen sie eine
> Koordinatenform der Ebenenschar [mm]E_{a}![/mm]
>  (mögl. Lösung: [mm]E_{a}: 2x_{1}[/mm] + [mm](4-2a)x_{2}[/mm] - [mm]ax_{3}[/mm] =
> 6+6a
>  Hallo,
>  trotz einer gegebenen möglichen Lösung, komme ich nicht
> auf ein Ergebnis, dass ansatzweise so aussieht.
>  Mein erster Ansatz war eine handelsübliche Umformung, bei
> der ich auf
>  s= [mm]1-x_{2}[/mm]
>  r = [mm](1-2x_{2}+2-x_{1})[/mm] / a
>  komme. Nun sehe ich allerdings schon, dass ich so nicht
> auf die mögliche Lösung komme.
>  
> Ansatz Nr. 2 wäre das suchen eines Normalenvektors, wo ich
> allerdings schon am Anfang bei
>  -a [mm]n_{1}[/mm] - 2 [mm]n_{2}[/mm] = 0
>  2 [mm]n_{1}[/mm] - [mm]n_{2}[/mm] + 2 [mm]n_{3}[/mm] = 0
>  scheitere.
>  
> Kann mir jemand behilflich sein? Ich stehe irgendwie auf
> dem Schlauch, da Umformungen ja nicht zu den schwersten
> Aufgaben zählen...
>  
> Danke!


Hallo,

wenn du bereits das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt kennst, kannst du auf diese Weise einen Normalenvektor bestimmen:


[mm] $\vektor{-a \\ 0 \\ -2}\times \vektor{2 \\ -1 \\ 2}=\vektor{-2 \\ 2a-4 \\ a}$ [/mm]

Also kannst du als Normalenvektor der Ebene den Vektor

[mm] $\vektor{-2 \\ 2a-4 \\ a}$ [/mm] oder auch das (-1)-fache, also [mm] $\vektor{2 \\ 4-2a \\ -a}$ [/mm] nehmen.

Gruß Glie

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