Ebenengleichung, Parameterform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 21.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Eine Ebene E ist durch den Punkt A(0|0|3) und die Richtungsvektoren [mm] $\vec [/mm] u= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $und [mm] $\vec [/mm] v= [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ [/mm] bestimmt. Geben Sie die Gleichung der Ebene E in Parameterform an.
2. Erstellen Sie die Parametergleichung der Ebene E, in der die Punkte A(0|-1|1), B(-2|0|-2) und C(1|2|3) liegen.
3. Geben Sie die Parameterform einer Ebene P an, die parallel zur Ebene E aus Aufgabe 1 ist und den Punkt A(0|-1|2) enthält. |
Hallo Zusammen,
hier meine Ergebnisse:
1. der Punkt A ist der Ortsvektor der Ebene und die beiden Richtungsvektoren spannen die Ebene sozusagen auf. Also:
$E: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] a + [mm] \lambda \vec [/mm] u + [mm] \mu \vec [/mm] v$
$E: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
das müsste die Ebenengleichung E sein.
2.
Die Punkte sollen innerhalb der Ebene liegen. Also definiere ich den Punkt A als Ortsvektor und ziehe diesen von B und C ab:
$E: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] a + [mm] \lambda (\vec [/mm] b - [mm] \vec [/mm] a) + [mm] \mu (\vec [/mm] c - [mm] \vec [/mm] a)$
$E: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda (\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] + [mm] \mu (\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix})$
[/mm]
$E: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
passt dies so?
oder muss ich dies mit einem Gleichugssystem lösen, zum Beispiel so:
$0 = [mm] \vec [/mm] a + [mm] \lambda \vec [/mm] b + [mm] \mu \vec [/mm] c$
$-1 = [mm] \vec [/mm] a + [mm] \lambda \vec [/mm] b + [mm] \mu \vec [/mm] c$
$1 = [mm] \vec [/mm] a + [mm] \lambda \vec [/mm] b + [mm] \mu \vec [/mm] c$
und dies dann für die anderen beiden Punkte auch machen. Aber wie komme ich dann von diesem auf die Ebene?
3.
Damit die Gerade Punkt A enthält, wird dieser zum Ortsvektor. Nun muss die Ebene noch parallel zu der aus Aufgabe 1, um dies zu erhalten, nehme ich einfach die gleichen Richtungsvektoren wie die Ebene E aus Aufgabe 1:
$P: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
passt dies so? Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo.
Alles richtig, so wie du es gemacht hast. In Aufgabe 2 brauchst du kein Gleichungssystem lösen, wie du es schon richtig vermutet hast.
Gruß Sierra
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