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| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(2|-3|2), B(-1|3|6), C(5|-5|0), sowie D(9|-8|18) in einem kartesischen Koordinatensystem. A, B und C bilden die Grundfläche und D die Spitze einer Pyramide.
Bestimmen sie die Koordinatengleichung derjenigen Ebene, die parallel zur Grundfläche der Pyramide liegt und diese in zwei gleiche Volumina zerschneidet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich finde keinen Lösungsansatz für diese Aufgabe und habe keine Ahnung, wie ich eine Ebene finde, die diese Eigenschaften mit sich bringt.
Könnt ihr mir bitte helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mi 29.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Schrauberin,
Das Volumen einer Pyramide ist [mm] $V=\bruch{1}{3}A*h$.
[/mm]
Dabei ist A der Flächeninhalt der Grundfläche und h die Höhe.
Wenn man nun die Pyramide mit einer parallelen Ebene auf der Höhe [mm] h_s [/mm] (von der Spitze aus gesehen) durchschneidet,
hat die neue Pyramide das Volumen [mm] $V_s=\bruch{1}{3}A_s*h_s$
[/mm]
[mm] A_s [/mm] ergibt sich aus dem Strahlensatz. Wenn A wie in diesem Fall dreieckig ist, dann wird sowohl eine Grundseite als auch die Höhe des Dreiecks um dem Faktor [mm] $\bruch{h_s}{h}$ [/mm] verkleinert. Damit gilt [mm] $A_s [/mm] = A * [mm] (\bruch{h_s}{h})^2$ [/mm] und damit [mm] $V_s [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}A [/mm] * [mm] (\bruch{h_s}{h})^2 [/mm] * [mm] h_s [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}A [/mm] * h * [mm] (\bruch{h_s}{h})^3 [/mm] = V * ( [mm] \bruch{h_s}{h})^3$. [/mm] Nun soll $2 * [mm] V_s [/mm] = V$ sein und damit läßt sich das Verhältnis [mm] $\bruch{h_s}{h}$ [/mm] ausrechnen.
In diesem Verhältnis werden die Strecken von der Spitze zu den Eckpunkten der Grundfläche geteilt. Die drei neuen Punkte bestimmen die gesuchte Ebene.
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