Ebenen sollen sich schneiden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich würde gerne wissen, ob meine Ergbenisse zur folgenden Aufgabe richtig ist.
Gesucht sind die Werte von a, b, c, für die sich folgende Ebenen schneiden:
[mm] E_{1}:\vec{x}= \vektor{a \\ 2\\3}+ r\vektor{5 \\ b\\1}+ s\vektor{1 \\ 2\\c}
[/mm]
[mm] E_{2}:\vec{x}= \vektor{2 \\ 1\\1}+ t\vektor{5 \\ 1\\1}+ u\vektor{1 \\ 0\\2}
[/mm]
Dies sind meine Ergebnisse:
a=-5r-5+5t+u
b=(1+t-2-2s)/r
c=(1+t+2u-3-r)/s
Stimmem meine Ergebnisse?
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Hi, Mathe-Freak,
die Aufgabe ist sicher nicht so gemeint, dass Du a, b und c in Abhängigkeit der Parameter r, s, t und u "ausrechnen" sollst!
Du sollst vielmehr von diesen Parametern unabhängige Bedingungen angeben dafür, das sich die Ebenen schneiden, d.h. dass sie nicht echt parallel sind!
Am einfachsten löst man das wohl mit Hilfe von Determinanten:
(1) Die beiden Ebenen sind parallel, wenn die beiden Determinanten
[mm] \vmat{5 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 2 & 1} [/mm] = 0
und
[mm] \vmat{5 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & c} [/mm] = 0
D.h.: Die Ebenen schneiden sich schon mal in einer Geraden, wenn nicht eine der beiden (oder beide) Determinanten 0 ist (sind).
Ich krieg: Die erste Det. ist = 0, wenn b=1 ist.
Die zweite Det. ist = 0, wenn c = -16 ist.
ABER BITTE: OHNE GEWÄHR!!!
Das heißt: Die Ebenen schneiden sich schon mal, wenn [mm] b\not=1 \vee c\not=-16 [/mm] ist.
(2) Wenn aber beide Determinanten =0 sind, so muss die Schnittmenge der beiden Ebenen dennoch nicht leer sein, weil ja beide Ebenen auch identisch sein könnten! Wenn also b=1 und auch c=-16 sind,
dann muss ZUSÄTZLICH noch
[mm] \vmat{(a-2) & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2} [/mm] = 0, d.h. a=7,5 sein.
Auch hier natürlich: OHNE GEWÄHR,
daher: NACHRECHNEN!
(PS: Rechenfehler in 2. Determinante korrigiert!)
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Hallo Mathe-Freak,
> ich würde gerne wissen, ob meine Ergbenisse zur folgenden
> Aufgabe richtig ist.
> Gesucht sind die Werte von a, b, c, für die sich folgende
> Ebenen schneiden:
>
> [mm]E_{1}:\vec{x}= \vektor{a \\ 2\\3}+ r\vektor{5 \\ b\\1}+ s\vektor{1 \\ 2\\c}[/mm]
>
> [mm]E_{2}:\vec{x}= \vektor{2 \\ 1\\1}+ t\vektor{5 \\ 1\\1}+ u\vektor{1 \\ 0\\2}[/mm]
>
> Dies sind meine Ergebnisse:
> a=-5r-5+5t+u
> b=(1+t-2-2s)/r
> c=(1+t+2u-3-r)/s
>
> Stimmem meine Ergebnisse?
Wie Zwerglein schon gesagt hat: du sollst Bedingungen (oder sogar Zahlen) für a, b, c angeben, damit sich die Ebenen schneiden.
Am besten (vor allem, wenn du Determinanten nicht anwenden magst/kannst) überlegst du dir schrittweise, wann sich die beiden Ebenen nicht schneiden, weil sie parallel sind und keinen Punkt gemeinsam haben!
Parallelität beider Ebenen:
[mm] $\vektor{5 \\ b\\1}=t*\vektor{5 \\ 1\\1}+u*\vektor{1 \\ 0\\2}$ \Rightarrow [/mm] mit t = 1 und u = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] b = 1.
Das bedeutet: mit b = 1 liegt der Vektor in der Ebene 2.
[mm] $\vektor{1 \\ 2\\c}= t*\vektor{5 \\ 1\\1}+ u*\vektor{1 \\ 0\\2}$ \Rightarrow [/mm] mit t = 2 und u = -9 [mm] \Rightarrow [/mm] c = -16.
Das bedeutet: mit c = -16 liegt der Vektor in der Ebene 2.
Mit diesen Werten für b und c wäre die Ebene 1 parallel zur Ebene 2; sie liegt dann in der Ebene 2, wenn auch noch der Stützvektor mit dem Parameter a so gewählt wird, dass dieser Aufhängepunkt in der Ebene 2 liegt:
[mm] $\vektor{a \\ 2\\3}= \vektor{2 \\ 1\\1}+ t\vektor{5 \\ 1\\1}+ u\vektor{1 \\ 0\\2}$ \Rightarrow [/mm] t = 1 und u = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] \bruch{15}{2}
[/mm]
Damit hast du nun die Bedingungen, wann die beiden Ebenen identisch sind.
Daraus folgt im Umkehrschluss:
wenn a [mm] \ne \bruch{15}{2}, [/mm] aber b = 1 und c = -16 ist, dann sind die beiden Ebenen parallel, aber nicht identisch und schneiden sich daher nicht.
Wie lauten die weiteren Möglichkeiten?
Bitte meine Ergebnisse aber erst nachrechnen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 So 22.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, informix,
hast Recht mit c=-16.
Hab' mein Ergebnis bereits ausgebessert!
Danke!
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