Ebenen mit bestimmten Abstand < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gebe die Gleichungen der Ebenen an, die zu der Ebene 2x-y+2z=5 den Abstand 2 haben. |
Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter. Meine Idee bisher war, dass ich den Normalenvektor aus der Koordinatenform ablese und daraus den Einheitsvektor bilde.
Wenn ich diesen verdopple, habe ich den gesuchten Abstand 2. Aber wie bekomme ich dadurch die gesuchten Gleichungen der Ebenen?
Es wäre super, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo DerAlteGil, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gebe die Gleichungen der Ebenen an, die zu der Ebene
> 2x-y+2z=5 den Abstand 2 haben.
> Bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter. Meine Idee
> bisher war, dass ich den Normalenvektor aus der
> Koordinatenform ablese und daraus den Einheitsvektor
> bilde.
> Wenn ich diesen verdopple, habe ich den gesuchten Abstand
> 2.
Wenn Du den Normalenvektor hast, kannst Du doch auch gleich die Hessesche Normalenform aufstellen: [mm] \vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
Dann sind die beiden Ebenen [mm] \vec{n}*\vec{x}=d\pm2 [/mm] die beiden gesuchten parallelen Ebenen.
In Koordinatenform werden sie die Form [mm] 2x-y+2x=5\pm{a} [/mm] haben, wobei a höchstwahrscheinlich nicht 2 ist.
> Aber wie bekomme ich dadurch die gesuchten Gleichungen
> der Ebenen?
> Es wäre super, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Was ist denn der (normierte) Normalenvektor?
Grüße
reverend
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> Hallo DerAlteGil,
>
Danke. :)
> Wenn Du den Normalenvektor hast, kannst Du doch auch gleich
> die Hessesche Normalenform aufstellen: [mm]\vec{n}*\vec{x}=d[/mm]
>
> Dann sind die beiden Ebenen [mm]\vec{n}*\vec{x}=d\pm2[/mm] die
> beiden gesuchten parallelen Ebenen.
>
Der normierte Normalenvektor ist: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Aber woher bekomme ich den [mm] \vec{x} [/mm] für die (Hessesche) Normalenform?
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Hallo nochmal,
> > Wenn Du den Normalenvektor hast, kannst Du doch auch gleich
> > die Hessesche Normalenform aufstellen: [mm]\vec{n}*\vec{x}=d[/mm]
> >
> > Dann sind die beiden Ebenen [mm]\vec{n}*\vec{x}=d\pm2[/mm] die
> > beiden gesuchten parallelen Ebenen.
>
> Der normierte Normalenvektor ist: [mm]\bruch{1}{3}[/mm] * [mm]\vektor{2 \\
-1 \\
2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber woher bekomme ich den [mm]\vec{x}[/mm] für die (Hessesche)
> Normalenform?
Gar nicht. Das ist der Platzhalter bzw. die als Vektor geschriebenen Variablen x,y,z aus der Koordinatenform. Jeder Punkt, dessen Ortsvektor [mm] \vec{x} [/mm] die Gleichung erfüllt, gehört zur Ebene.
Gegeben war also die Ebene [mm] \bruch{1}{3}*\vektor{2\\-1\\2}*\vec{x}=\bruch{5}{3}
[/mm]
Dann bist Du jetzt ja fast fertig.
Grüße
reverend
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> Gegeben war also die Ebene
> [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{2\\-1\\2}*\vec{x}=\bruch{5}{3}[/mm]
>
> Dann bist Du jetzt ja fast fertig.
Also sind die gesuchten Ebenen diese hier?
[mm] \bruch{1}{3}*\vektor{2\\-1\\2}*\vec{x}=\bruch{5}{3} [/mm] -2
[mm] \bruch{1}{3}*\vektor{2\\-1\\2}*\vec{x}=\bruch{5}{3} [/mm] +2
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 So 23.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Gegeben war also die Ebene
> > [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{2\\
-1\\
2}*\vec{x}=\bruch{5}{3}[/mm]
> >
> > Dann bist Du jetzt ja fast fertig.
>
>
> Also sind die gesuchten Ebenen diese hier?
>
>
> [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{2\\
-1\\
2}*\vec{x}=\bruch{5}{3}[/mm] -2
>
> [mm]\bruch{1}{3}*\vektor{2\\
-1\\
2}*\vec{x}=\bruch{5}{3}[/mm] +2
Wenn du die [mm] \frac{5}{3}pm2 [/mm] noch ausrechnest, ja.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 So 23.10.2011 | | Autor: | DerAlteGil |
Ok, dann hab ich es nun verstanden.
Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
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