Ebenen aufstellen und Kugelsch < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Norman |
Ich habe Folgendes Problem. Ich habe 2 Geraden, einmal die Gerade g: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ 3\\-7} [/mm] +t [mm] \vektor{1 \\ 1\\4} [/mm] und die Gerade h: [mm] \overline{x}= \vektor{1 \\ 5\\6} [/mm] +r [mm] \vektor{0 \\ 1\\2}
[/mm]
Nun soll ich eine Normalengleichung der Ebene aufstellen welche Gerade g und das gemeinsame Lot von Gerade g und h enthält. Dann soll ich noch die Besonderheit dieser Ebene nennen.
Als zweites soll ich eine Kugelschar [mm] K_{t} [/mm] aufstellen deren Mittelpunkte auh h liegen und die die Gerade g berühren.Dann noch die Schar mit dem kleinsten Radius bestimmen.
zu 1) Die ersten Richtungsvektor der Ebene habe ich ja bereits gegeben , die ist ja der Vektor der Geraden g. Wie ist das mit dem Lot gemeint ? Sind das Orthogonale Vektoren der Geraden g und h? Falls es jemanden hilft ich musste vorher die Lage der Geraden bestimmen , sie sind Windschief zueinander.
zu2) Wie bekomme ich denn die Punkte raus wo die Kugel die Gerade g berührt??
Sorry das ich nich mehr weis . Ich wär super dankbar fürn par Ansätze, wir schreiben nämlich bald Klausur und da muss ich noch'n bisschen üben.
Schon mal vielen dank für die Mühe.
Gruß Norman
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Hallo Norman,
> zu 1) Die ersten Richtungsvektor der Ebene habe ich ja
> bereits gegeben , die ist ja der Vektor der Geraden g. Wie
> ist das mit dem Lot gemeint ? Sind das Orthogonale Vektoren
> der Geraden g und h? Falls es jemanden hilft ich musste
> vorher die Lage der Geraden bestimmen , sie sind Windschief
> zueinander.
Voraussetzung, daß man ein Lot fällen kann ist im Raum, daß die gegebenen Geraden windschief zueinander sind, also sich nicht schneiden und nicht parallel sind.
Um das gemeinsame Lot zu bestimmen, gehst Du wie folgt vor:
Seien die Geraden [mm]g:\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_1 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } [/mm] und [mm]
h:\;\overrightarrow x \; = \;\overrightarrow {a_2 } \; + \;t\;\overrightarrow {b_2 } [/mm] windschief zueinander
Zunächst mal muß das Lot orthogonal zu den Richtungsvektoren der Geraden sein.
Es gilt dann:
[mm]
\begin{gathered}
\left( {\overrightarrow {a_1 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } \; - \;\overrightarrow {a_2 } \; - \;t\;\overrightarrow {b_2 } } \right)\;\overrightarrow {b_1 } \; = \;0 \hfill \\
\left( {\overrightarrow {a_1 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } \; - \;\overrightarrow {a_2 } \; - \;t\;\overrightarrow {b_2 } } \right)\;\overrightarrow {b_2 } \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hieraus erhältst Du sie Parameter s und t, mit deren Hilfe sich das Lot [mm]
{\overrightarrow {a_1 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } \; - \;\overrightarrow {a_2 } \; - \;t\;\overrightarrow {b_2 } }[/mm] berechnet.
Gruß
MathePower
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Hallo Norman,
> zu2) Wie bekomme ich denn die Punkte raus wo die Kugel die
> Gerade g berührt??
setze die entsprechende Geradengleichung in die Kugelgleichung ein, und Du erhältst eine quadratische Gleichung. Diese hat in der Regel zwei Lösungen. Fallen diese Lösungen zusammen, so ist die Gerade Tangente an die Kugel.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Norman |
Zu ersten habe ich noch eine Frage.
Ich habe jetzt die Parameter s und t in der Form: s= 2t-6 und s= 20t-54 als Beispiel. Jetzt habe ich ja 2 gleichungen , welche muss ich denn nun davon einsetzen oder is es egal wo ich welche einsetzte und nach was sie umgestellt wird?
zu 2) Das Problem ist das ich ja leider die kugelgleichung nicht gegeben habe und somit ja keinen Radius aufstellen kann . Ich meine , ich habe ja keinen weg erstmal irgendwie eine Gleichung aufzustellen.
Sorry wenn ich dich damit nerve aber irgendwie steig ich da jetzt nicht hinter. Vielen dank das du dir die Zeit und Mühe machst mir zu helfen.
Gruß
Norman
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Hallo Norman,
> Zu ersten habe ich noch eine Frage.
> Ich habe jetzt die Parameter s und t in der Form: s= 2t-6
> und s= 20t-54 als Beispiel. Jetzt habe ich ja 2
> gleichungen , welche muss ich denn nun davon einsetzen oder
> is es egal wo ich welche einsetzte und nach was sie
> umgestellt wird?
In die Gleichungen sollen die gegebenen Vektoren der Geraden g und h eingesetzt, diese dann skalar mit dem Richtungsvektor [mm]b_{1}[/mm] bzw. [mm]b_{2}[/mm] multipliziert. Dies ergeben nun mal 2 Gleichungen in 2 Unbekannten (s, t).
Die Gleichungen dienen also zur Bestimmung der Unbekannten s und t.
> zu 2) Das Problem ist das ich ja leider die kugelgleichung
> nicht gegeben habe und somit ja keinen Radius aufstellen
> kann . Ich meine , ich habe ja keinen weg erstmal irgendwie
> eine Gleichung aufzustellen.
Die Kugelgleichung lautet so:
[mm]
\left( {\overrightarrow x \; - \;\overrightarrow m } \right)^2 \; = \;r^2 [/mm]
Als Mittelpunkt nimmst Du dann die Gerade h. Punkte auf der Kugel sollen dann diejenigen der Geraden h sein. Die Gerade berührt die Kugel, wenn die Gerade nur einen Schnittpunkt mit der Kugel hat.
Konkret hast Du dann folgende Gleichung:
[mm]\left( {g\; - \;h} \right)^2 \; = \;\left( {\overrightarrow {a_1 } \; + \;s\;\overrightarrow {b_1 } \; - \;\overrightarrow {a_2 } \; - \;t\;\overrightarrow {b_2 } } \right)^2 \; = \;r^2 [/mm]
Obige Gleichung ausmultipliziert ergibt dann eine quadratische Gleichung:
[mm]a\;s^{2} \; + \;b\;s\; + \;c\; = \;0[/mm]
Diese hat zwei zusammenfallende Lösungen, wenn
[mm]b^{2}\;-\;4\;a\;c\;=\;0[/mm] ist.
Hieraus ergibt sich der Radius der Kugel in Abhängigkeit von t.
Für die Bestimmung des minimalen Radius differenziert man einmal und setzt diese Ableitung gleich 0.
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> Sorry wenn ich dich damit nerve aber irgendwie steig ich da
> jetzt nicht hinter. Vielen dank das du dir die Zeit und
> Mühe machst mir zu helfen.
Gruß
MathePower
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