Ebene und Gerade in Parameterd < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 So 31.10.2010 | | Autor: | Madila |
Hallo :)
Wir haben als Hausaufgabe auf die gegenseitige Lage von einer Gerade zu einer Ebene zu untersuchen. Hierfür gibt es ja 3 Möglichkeiten:
1. Die Gerade schneidet die Ebene
2. Die Gerade liegt in der Ebene
3. Die Gerade läuft parallel zur Ebene, berührt sie aber nicht
(Stimmt das soweit?)
Nun zu meiner Frage:
Wie stellt man diese Lagen nun fest?
zu 1. würde ich es so machen, wie wenn man den Schnittpunkt zweier Geraden sucht, d.h. ich setzte sie gleich und gucke, ob die Lösung des Gleichungssystems eine wahre Aussage ergibt.
zu 2. Hier habe ich nicht wirklich eine Idee zu. Kann man das eventuell so sehen, wie zwei identische Geraden?
und zu 3. wenn 1. und 2. nicht stimmt, muss die Gerade dann parallel darüber liegen oder kann sie auch windschief sein? In meiner einen Aufgabe bekomme ich nämlich raus, dass das Gleichsetzen eine unwahre Lösung hat, die Richtungsvektoren sind aber nicht kollinear. Dies müsste dann doch eigentlich windschief sein, oder?
Danke für die Hilfe und ein schönes Restwochenende!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 So 31.10.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
> Hallo :)
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> Wir haben als Hausaufgabe auf die gegenseitige Lage von
> einer Gerade zu einer Ebene zu untersuchen. Hierfür gibt
> es ja 3 Möglichkeiten:
> 1. Die Gerade schneidet die Ebene
> 2. Die Gerade liegt in der Ebene
> 3. Die Gerade läuft parallel zur Ebene, berührt sie aber
> nicht
> (Stimmt das soweit?)
>
> Nun zu meiner Frage:
> Wie stellt man diese Lagen nun fest?
> zu 1. würde ich es so machen, wie wenn man den
> Schnittpunkt zweier Geraden sucht, d.h. ich setzte sie
> gleich und gucke, ob die Lösung des Gleichungssystems eine
> wahre Aussage ergibt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu 2. Hier habe ich nicht wirklich eine Idee zu. Kann man
> das eventuell so sehen, wie zwei identische Geraden?
Ja. Du erhältst eine wahre Aussage wie z.B 3=3.
> und zu 3. wenn 1. und 2. nicht stimmt, muss die Gerade
> dann parallel darüber liegen
> oder kann sie auch windschief sein?
Nein. Windschief zueinander können nur zwei Geraden im Raum sein.
> In meiner einen Aufgabe bekomme ich nämlich raus,
> dass das Gleichsetzen eine unwahre Lösung hat, die
> Richtungsvektoren sind aber nicht kollinear. Dies müsste
> dann doch eigentlich windschief sein, oder?
...
Poste doch mal Deine Rechnung. Sollte ein Fehler vorliegen, wir finden ihn!
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 31.10.2010 | | Autor: | Madila |
> Guten Tag!
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> > Hallo :)
> >
> > Wir haben als Hausaufgabe auf die gegenseitige Lage von
> > einer Gerade zu einer Ebene zu untersuchen. Hierfür gibt
> > es ja 3 Möglichkeiten:
> > 1. Die Gerade schneidet die Ebene
> > 2. Die Gerade liegt in der Ebene
> > 3. Die Gerade läuft parallel zur Ebene, berührt sie aber
> > nicht
> > (Stimmt das soweit?)
> >
> > Nun zu meiner Frage:
> > Wie stellt man diese Lagen nun fest?
> > zu 1. würde ich es so machen, wie wenn man den
> > Schnittpunkt zweier Geraden sucht, d.h. ich setzte sie
> > gleich und gucke, ob die Lösung des Gleichungssystems eine
> > wahre Aussage ergibt.
> > zu 2. Hier habe ich nicht wirklich eine Idee zu. Kann
> man
> > das eventuell so sehen, wie zwei identische Geraden?
> Ja. Du erhältst eine wahre Aussage wie z.B 3=3.
> > und zu 3. wenn 1. und 2. nicht stimmt, muss die Gerade
> > dann parallel darüber liegen
> > oder kann sie auch windschief sein?
> Nein. Windschief zueinander können nur zwei Geraden im
> Raum sein.
Warum können Gerade und Ebene nicht windschief zueinander liegen? Die Ebene ist doch räumlich begrenzt, da könnte die Gerade doch vll irgendwie windschief liegen?!
> > In meiner einen Aufgabe bekomme ich nämlich raus,
> > dass das Gleichsetzen eine unwahre Lösung hat, die
> > Richtungsvektoren sind aber nicht kollinear. Dies müsste
> > dann doch eigentlich windschief sein, oder?
> ...
> Poste doch mal Deine Rechnung. Sollte ein Fehler
> vorliegen, wir finden ihn!
Ich glaube ich habe den Fehler selber gefunden. Man muss die beiden Richtungsvektoren der Ebene addieren, um zu sehen ob dieser kollinear zu dem Richtungsvektor der Gerade ist, oder? (das hatte ich nämlich nich gemacht, sondern diese einzeln betrachtet..)
> Salve
>
> Pappus
Lieben Gruß Madila
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 31.10.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
...
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> Ich glaube ich habe den Fehler selber gefunden. Man muss
> die beiden Richtungsvektoren der Ebene addieren, um zu
> sehen ob dieser kollinear zu dem Richtungsvektor der Gerade
> ist, oder? (das hatte ich nämlich nich gemacht, sondern
> diese einzeln betrachtet..)
>
...
So ähnlich. Wenn [mm] $\vec [/mm] u$ und [mm] $\vec [/mm] v$ die Spannvektoren der Ebene sind und [mm] $\vec [/mm] w$ der Richtungsvektor der Geraden, dann muss die Gleichung
$r [mm] \cdot \vec [/mm] u + s [mm] \cdot \vec [/mm] v = [mm] \vec [/mm] w$
eine eindeutige Lösung haben.
Salve
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 31.10.2010 | | Autor: | Madila |
Okay, danke das hab ich jetzt verstanden!
Aber warum kann eine Gerade nicht windschief zu einer Ebene liegen? Die Ebene ist doch räumlich begrenzt, die Gerade könnte doch vll auch "knapp" vorbeigehen?
Danke im vorraus und einen schönen Sonntag noch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 So 31.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Okay, danke das hab ich jetzt verstanden!
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> Aber warum kann eine Gerade nicht windschief zu einer Ebene
> liegen? Die Ebene ist doch räumlich begrenzt, die Gerade
> könnte doch vll auch "knapp" vorbeigehen?
Hallo,
eine Ebene ist eben NICHT räumlich begrenzt (wie es im Gegensatz dazu ein Blatt Papier es ist, weil es an seinen Rändern nun mal "zu Ende ist").
Wenn eine Ebene begrenzt wäre, müssten ja auch deine Faktoren r und s vor den Spannvektoren jeweils eine Obergrenze besitzen, damit sie "nicht über den Rand hinaus vorstoßen". Sie sind aber für noch so große reelle Zahlen erlaubt.
Gruß Abakus
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> Danke im vorraus und einen schönen Sonntag noch
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