Ebene bilden durch Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Do 21.02.2008 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | Welche Ebene wird durch folgende Geraden bestimmt?
a) [mm]g_1: \vec r = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0,5 \end{pmatrix} und g_2: \vec r = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}
b) g_1: \vec r = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1,5 \\ -2 \end{pmatrix} und g_2: \vec r = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
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So die Theorie ist doch eigentlich einfach:
Ich bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden und das ist dann mein Ortsvektor der Ebene und ich nehme dann einfach die beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden und dann sollte meine Ebene stehen, oder nicht?
So, bei a) gibt es keinen Schnittpunkt, da die beiden Geraden kollinear sind: [mm] \vec [/mm] b = [mm] \lambda \vec [/mm] a stimmt
oder nicht?
bei b) ist auch nun ein Problem, ich setze die beiden gleich und bekomme einen Schnittpunkt immer in Abhängigkeit des [mm] \lambda [/mm] .
Ich weiß nun nicht wie ich hier angehen soll. zumal sind die x-werte beide Null. Vielleicht hat das ja eine Bedeutung?
Danke Für euren Rat und Bemühen schon einmal im Voraus
MfG
Nordi
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo n0rdi!
Auch zwei parallele Geraden spannen eine eindeutige Ebene auf. Bilde also als zweiten Richtungsvektor der Ebene den Verbindungsvektor der beiden Geradenstützpunkte.
Für die 2. Aufgabe solltest Du mal Deinen Rechenweg posten ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 21.02.2008 | | Autor: | n0rdi |
zu a) wie meinst du das mit den Stützpunkten? und welchen Verbindungspunkt?
Den 2. Richtungsvektor? also es gibt schon einen? welchen denn? ich habe doch schon 2 gegeben durch die 2 Geraden und 2 Ortvektoren oder etwa nicht?
b)
hab es noch einmal neu gemacht: [mm]
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1,5 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}
[/mm]
----------------------------------------------
[mm] \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1,5 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
---------------------------------------------
x: 0=0
y: -3 [mm] \lambda [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \mu [/mm] = 3
z: [mm] 4\lambda [/mm] + [mm] 2\mu [/mm] = -4
---------------------------------------------
y: -3 [mm] \lambda [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} \mu [/mm] = 3
z: [mm] \mu=-2-2\lambda
[/mm]
---------------------------------------------
y: -3 [mm] \lambda [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] (-2-2\lambda) [/mm] = 3
z: [mm] \mu=-2-2\lambda
[/mm]
----------------------------------------------
y: [mm] \lambda [/mm] = 0
z: [mm] \mu=-2-2\lambda
[/mm]
----------------------------------------------
y: [mm] \lambda [/mm] = 0
z: [mm] \mu=-2-2 [/mm] * 0
-----------------------------------------------
x: 0=0
y: [mm] \lambda [/mm] = 0
z: [mm] \mu [/mm] = -2
-----------------------------------------------
also schneiden die sich doch oder wie sehe ich das nun?
hab ja für [mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \mu [/mm] = -2
einfach einsetzen und dann bekomme ich den schnittpunkt?
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Hi, n0rdi,
wie man relativ schnell erkennt, sind bei dieser Aufgabe die beiden Geraden identisch!
(Die Richtungen sind parallel und wenn Du [mm] \lambda [/mm] = -1 in der 2. Gleichung setzt, erhältst Du den Aufpunkt der 1. Geraden - voila!)
Aber das musst Du mit Deinem Verfahren auch rauskriegen - also schau'n wir mal, wo Du Dich vertan hast:
> zu a) wie meinst du das mit den Stützpunkten? und welchen
> Verbindungspunkt?
Nicht VerbindungsPUNKT, sondern VerbindungsVEKTOR, also der Vektor zwischen beiden Strützpunkten!
> Den 2. Richtungsvektor? also es gibt schon einen? welchen
> denn? ich habe doch schon 2 gegeben durch die 2 Geraden und
> 2 Ortvektoren oder etwa nicht?
Wenn - wie hier - beide Geraden parallel sind, hast Du im Prinzip nur EINE Richtung, denn die beiden Richtungsvektoren unterscheiden sich nur durch eine Konstante. Welchen der beiden Du für die Ebene verwendest, ist egal; nur BEIDE darfst Du nicht nehmen: Die beiden Richtungsvektoren einer Ebene müssen grundsätzlich linear UNabhängig sein; das sind parallele Vektoren aber nicht!
> b)
> hab es noch einmal neu gemacht: [mm]
[mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1,5 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
----------------------------------------------
[mm]\lambda \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1,5 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
---------------------------------------------
x: 0=0
y: -3 [mm]\lambda[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \mu[/mm] = 3
z: [mm]4\lambda[/mm] + [mm]2\mu[/mm] = -4
---------------------------------------------
y: -3 [mm]\lambda[/mm] - [mm]\bruch{3}{2} \mu[/mm] = 3
z: [mm]\mu=-2-2\lambda[/mm]
---------------------------------------------
y: -3 [mm]\lambda[/mm] - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] * [mm](-2-2\lambda)[/mm] = 3
z: [mm]\mu=-2-2\lambda[/mm]
----------------------------------------------
y: [mm]\lambda[/mm] = 0
Hier liegt Dein Fehler!
[mm] \lambda [/mm] fällt aus der Gleichung raus; es ergibt sich: 0 = 0
(wahre Aussage!)
Und somit ist klar: JEDER PUNKT ist Schnittpunkt: Die Geraden sind identisch!
(Wie oben schon gesagt: Das solltest Du schneller erkennen!)
Was heißt das nun für Deine Aufgabenstellung?
Es gibt nicht EINE Ebene als Lösung, sondern unendlich viele.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Do 21.02.2008 | | Autor: | n0rdi |
ja genau, der Fehler fiel auch sofort auf, als ich es hier gepostet habe -.-
aber dann ging das korrigieren nicht mehr... naja gut also sind die beiden Geraden in Aufgabenteil b) identisch
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Doch wie kommst du denn auf [mm] [mm] \lambda [/mm] = -1? was ist das für ein Wert? gehört das zu b) oder zu a) nun? bei a) habe ich nämlich bei a) für das [mm] \lambda [/mm] -1/2 raus wenn ich die Richtungsvektoren gleichsetze (einer als vielfaches)
kann ich nicht jeweils die -1/2 bei a) in den Gleichungen einsetzen, dann habe ich 2 Punkte und kann ich die dann nicht addieren bzw subtrahieren und dann habe ich den Verbindungsvektor?
dann habe ich den, den Richtungsvektor, nur der Punkt bzw der Ortsvektor fehlt noch oder?
Das ist dann meine Skizze einmal zur Aufgabe a):
[Dateianhang nicht öffentlich]
sorry, bin grad ein bisschen durcheinander ;)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hi, n0rdi,
> ja genau, der Fehler fiel auch sofort auf, als ich es hier
> gepostet habe -.-
> aber dann ging das korrigieren nicht mehr... naja gut also
> sind die beiden Geraden in Aufgabenteil b) identisch
> ------------------------
> Doch wie kommst du denn auf [mm][mm]\lambda[/mm] = -1? was ist
> das für ein Wert? gehört das zu b) oder zu a) nun?
Zu b) natürlich! Über a) hab' ich ja gar nichts gesagt!
Diesen Wert hab' ich durch Probieren rausgefunden!
Und was ergibt sich für [mm] \lambda [/mm] = -1? Nun: P(2; 1; 6). Und das ist der Aufpunkt der 1. Geraden.
Heißt: Der Aufpunkt der 1. Geraden liegt AUCH auf der 2. Geraden.
Da die Geraden aber parallel sind, kann dieses Ergebnis nur heißen: Sie sind sogar identisch!
> bei a) habe ich nämlich für das [mm]\lambda[/mm] -1/2 raus wenn ich die
> Richtungsvektoren gleichsetze (einer als vielfaches)
Du darfst die Parameter der Geraden [mm] (\lambda [/mm] oder [mm] \mu) [/mm] nicht für den Beweis der Parallelität verwenden!
Verwende immer (!!!) einen ANDEREN Buchstaben, z.B. k !
Also bei a): [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 0,5} [/mm] = [mm] k*\vektor{-4 \\ 6 \\ -1}
[/mm]
=> k = -1/2. (Und damit: parallel!)
> kann ich nicht jeweils die -1/2 bei a) in den Gleichungen einsetzen, dann
> habe ich 2 Punkte und kann ich die dann nicht addieren bzw subtrahieren
Wieso addieren bzw. subtrahieren?!? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Was kriegst Du denn, wenn Du zwei Punkte addierst?!?
> und dann habe ich den Verbindungsvektor?
Wozu denn so umständlich?
Du HAST ja schon 2 Punkte, nämlich die Aufpunkte
A(3 / 1 / 5) und B(5 / -1 / 1)
Da ist doch der Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] schnell berechnet!
> dann habe ich den Richtungsvektor, nur der Punkt bzw der Ortsvektor fehlt noch oder?
Naja: Wenn 2 Geraden in einer Ebene liegen, dann liegen ja logischerweise auch deren Aufpunkte drin, stimmt's?!
Also nimmst Du einfach EINEN von beiden - egal welchen!
> Das ist dann meine Skizze einmal zur Aufgabe a):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die passt schon! [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] sind halt einfach die von mir A und B genannten Punkte!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 21.02.2008 | | Autor: | n0rdi |
ok cool, danke für die tips und deine geduld ;)
ist schon ein erleichterndes Gefühl ne Aufgabe zu lösen, die erst Probleme aufgebracht hatte^^
ich hab nun die Ebene raus bei a), bei b) gibt es ja unendlich.
Also Danke nochmals
MfG
Nordi
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