Ebene,Pseudoinverse,Gauß... < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Carina84 |
| Aufgabe | Aufgabe 1 (2+6+6+4+6 Punkte)
Ebene: [mm] r=\vektor{1 \\ -6 \\ -1} [/mm] + t1 [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] +t2 [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -2} [/mm] Punkt: [mm] x1=\vektor{4 \\ 3 \\ 2},x2=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
a) Stellen Sie die Ebene durch eine Matrixgleichung dar.
b) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass der Nullpunkt x2 auf der Ebene liegt.
c) Verwenden Sie das Skalarpdorukt um die Projektion des Punktes x1 auf die Ebene zu berechnen.
d) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass die Matrix: [mm] C=\bruch{1}{18}*\pmat{ 17 & 4 \\ 4 & 2 } [/mm] die Inverse der Matrix [mm] B=\pmat{ 2 & -4 \\ -4 & 17 } [/mm] ist.
e) Berechnen Sie mit Hilfe der Pseudoinversen eine Matrix, die auf die Ebene projiziert und überprüfen Sie damit das Ergebnis aus c) |
Hallo,
würde mich freuen wenn mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen könnte.
a) Bin mir nicht ganz sicher, müsste aber : [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -6 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 2 }*\vektor{t1 \\ t2} [/mm] sein, oder?
b) Da braucht man ja eigentlich nichts zu rechnen? Die Nullen am Ende bleiben ja eh, egal wie man es umformt. Somit gibt es unendlich viele Lösungen, und damit ist x2 auch auf der Ebene, oder liege ich da falsch?
c) Auch hier bin ich mir nicht sicher. Meine Vorgehensweise:
Ich habe folgende Formel benutzt (wobei ich u2 zuerst orthogonal zu u1 gemacht habe): [mm] r1+\bruch{}{}*u1 [/mm] + [mm] \bruch{}{}*u2
[/mm]
Die Ebene-Punkt-Richtungsform ist bei uns so definiert: r=r1+t1*u1+t2*u2
Mein Ergebnis lautet: [mm] \bruch{1}{25}\vektor{25 \\ 33 \\ 181}
[/mm]
Bin mir aber sehr unsicher ob das stimmt.
d) Ich kam nach meiner Rechnung auf die gleiche Lösung, das ist kein Problem.
e) Hier weiß ich überhaubt nicht wie ich anfangen soll.
Würde mich über Antworten sehr freuen
Liebe Grüße
Carina
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Aufgabe 1
>
> Ebene: [mm]r=\vektor{1 \\ -6 \\ -1}[/mm] + t1 [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> +t2 [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ -2}[/mm] Punkt: [mm]x1=\vektor{4 \\ 3 \\ 2},x2=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> a) Stellen Sie die Ebene durch eine Matrixgleichung dar.
> b) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass der
> Nullpunkt x2 auf der Ebene liegt.
> c) Verwenden Sie das Skalarpdorukt um die Projektion des
> Punktes x1 auf die Ebene zu berechnen.
> d) Zeigen Sie mit dem Gauß-Algorithmus, dass die Matrix:
> [mm]C=\bruch{1}{18}*\pmat{ 17 & 4 \\ 4 & 2 }[/mm] die Inverse der
> Matrix [mm]B=\pmat{ 2 & -4 \\ -4 & 17 }[/mm] ist.
> e) Berechnen Sie mit Hilfe der Pseudoinversen eine Matrix,
> die auf die Ebene projiziert und überprüfen Sie damit das
> Ergebnis aus c)
> Hallo,
> würde mich freuen wenn mir jemand bei der Lösung dieser
> Aufgabe helfen könnte.
>
> a) Bin mir nicht ganz sicher, müsste aber : [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ -6 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & 2 }*\vektor{t1 \\ t2}[/mm]
> sein, oder?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zu einer Gleichung gehört ein Gleichheitszeichen - schon deshalb kann Deine Lösung nicht richtig sein.
Außerdem multiplizierst Du eine 3x3-Matrix mit einem Spaltenvektor mit bloß zwei Einträgen - das geht doch gar nicht.
Gesucht ist hier ein Gleichungssystem (=Matrixgleichung), welches gerade die angegebene Ebene als Lösung hat.
Eine Lösungsmöglichkeit:
Eliminiere in dem GS, welches Du aus
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{1 \\ -6 \\ -1} [/mm] + [mm] t_1[/mm] [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] [mm] +t_2[/mm] [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ -2}[/mm]
erhältst, die Parameter [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2, [/mm]
das verbleibende (sehr kleine) GS schreibe als Matrixgleichung.
> b) Da braucht man ja eigentlich nichts zu rechnen? Die
> Nullen am Ende bleiben ja eh, egal wie man es umformt.
Ich weiß nicht recht, was Du meinst.
Es geht darum, ob das GS [mm] \vektor{1 \\ -6 \\ -1} [/mm] + [mm] t_1[/mm] [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm] [mm] +t_2[/mm] [mm][mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -2}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] eine Lösung hat.
Dies sollst Du mit dem Gauß-Algorithmus prüfen.
Alternativ kannst Du natürlich auch schauen, ob der Nullvektor Lösung des aufgestellten Gleichungssystems ist - allerdings verwendest Du dann nicht den Gauß-Algorithmus.
> Somit gibt es unendlich viele Lösungen, und damit ist x2
> auch auf der Ebene, oder liege ich da falsch?
>
> c) Auch hier bin ich mir nicht sicher. Meine
> Vorgehensweise:
> Ich habe folgende Formel benutzt (wobei ich u2 zuerst
> orthogonal zu u1 gemacht habe):
> [mm]r1+\bruch{}{}*u1[/mm] +
> [mm]\bruch{}{}*u2[/mm]
>
> Die Ebene-Punkt-Richtungsform ist bei uns so definiert:
> r=r1+t1*u1+t2*u2
>
> Mein Ergebnis lautet: [mm]\bruch{1}{25}\vektor{25 \\ 33 \\ 181}[/mm]
>
> Bin mir aber sehr unsicher ob das stimmt.
Mein Ergebnis ist anders.
Rechne vor.
>
> d) Ich kam nach meiner Rechnung auf die gleiche Lösung,
> das ist kein Problem.
>
> e) Hier weiß ich überhaubt nicht wie ich anfangen soll.
Hier müßte ich mich auch erstml schlau machen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Carina84 |
zu a)
hab mir das jetzt nochmal überlegt. Es müsste doch eigentlich reichen wenn ich schreibe:
[mm] r=\pmat{ 1 & -1t_1 & 2t_2 \\ -6 & 0t_1 & 3t_2 \\ -1 & 1t_1 & -2t_2 }
[/mm]
Das ist doch die Matrixgleichung?
zu b)
Ich schreibe ja zu Beginn:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 & |0 \\ -6 & 0 & 3 & |0 \\ -1 & 1 & -2 & |0 }
[/mm]
Egal was ich jetzt mache... an den Nullen hinten ändert sich ja nichts, egal wie ich umstelle. Zahl*x3=0 => x3=beliebig usw.
Also gibt es für die Gleichung unendlich viele Lösungen, und somit liegt der Punkt auf der Ebene.
Oder stehe ich wieder mal auf dem Schlauch ? :)
zu c)
Ich hab nochmal nachgerechnet und komme nun auf die Lösung: [mm] \bruch{1}{17}*\vektor{98 \\ 195 \\ -62}
[/mm]
[mm] u_2 [/mm] habe ich orthogonal zu [mm] u_1 [/mm] gemacht... das neue [mm] u_2 [/mm] ist dann [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 0}, [/mm] damit habe ich dann in der Formel gerechnet.
Der von mir beschriebene Lösungsweg ist aber der richtige? Falls ja, und wenn das Ergebnis wieder falsch ist schreibe ich den Rechenweg mal auf
|
|
|
| |
|
> zu a)
> hab mir das jetzt nochmal überlegt. Es müsste doch
> eigentlich reichen wenn ich schreibe:
>
> [mm]r=\pmat{ 1 & -1t_1 & 2t_2 \\ -6 & 0t_1 & 3t_2 \\ -1 & 1t_1 & -2t_2 }[/mm]
>
> Das ist doch die Matrixgleichung?
Hallo,
erstens mal hast Du links einen Vektor stehen und rechts eine Matrix, was schon nicht sein kann.
Gefordert ist sowas: [mm] A*\vektor{x\\y\\z}=was [/mm] passendes, und die angegebene Ebene soll die Lösungsmenge der Gleichung sein.
Die Ebene soll ja irgendwas mit der Gleichung zu tun haben.
Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, habe ich Dir gesagt.
Andere Möglichkeit: schreibe die Ebene in Koordinatendarstellung und mach aus dieser dann eine Matrixgleichung.
>
> zu b)
> Ich schreibe ja zu Beginn:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 & |0 \\ -6 & 0 & 3 & |0 \\ -1 & 1 & -2 & |0 }[/mm]
Nein.
Das Gleichungssystem gewinnst Du doch aus
$ [mm] \vektor{1 \\ -6 \\ -1} [/mm] $ + [mm] t_1 [/mm] $ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ [mm] +t_2 [/mm] $ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -2}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] $ .
Es lautet?
Stelle nun so um, daß auf der linken Seite alles mit Variablen steht, rechts die nackten Zahlen.
Stelle dann die erweiterte Koeffizientenmatrix auf.
>
> Egal was ich jetzt mache... an den Nullen hinten ändert
> sich ja nichts, egal wie ich umstelle. Zahl*x3=0 =>
> x3=beliebig usw.
> Also gibt es für die Gleichung unendlich viele Lösungen,
> und somit liegt der Punkt auf der Ebene.
Quatsch.
Auszurechnen ist, daß es [mm] t_1, t_2 [/mm] gibt, so daß [mm] \vektor{1 \\ -6 \\ -1} [/mm] $ + [mm] t_1 [/mm] $ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ [mm] +t_2 [/mm] $ [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ -2} [/mm] den Nullvektor ergibt.
> Oder stehe ich wieder mal auf dem Schlauch ? :)
Hm. Ich habe so einen Eindruck von "denn sie wissen nicht, was sie tun."
(Du hattest keine Vektorrechnung in der Schule? Das ist dann natürlich etwas blöd...)
>
> zu c)
> Ich hab nochmal nachgerechnet und komme nun auf die
> Lösung: [mm]\bruch{1}{17}*\vektor{98 \\ 195 \\ -62}[/mm]> Falls ja, und wenn das Ergebnis wieder falsch ist schreibe
> ich den Rechenweg mal auf
> [mm]u_2[/mm] habe
> ich orthogonal zu [mm]u_1[/mm] gemacht... das neue [mm]u_2[/mm] ist dann
> [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 0},[/mm] damit habe ich dann in der Formel
> gerechnet.> Falls ja, und wenn das Ergebnis wieder falsch ist schreibe
> ich den Rechenweg mal auf
Der Vektor stimmt, mein Ergebnis ist schöner.
>
> Der von mir beschriebene Lösungsweg ist aber der richtige?
Ja, man kann das so machen. Ich hab's aber anders gemacht:
den Normalenvektor der Ebene bestimmt und den Schnittpunkt der Geraden durch [mm] x_1 [/mm] in Richtung Normalenvektor mit der Ebene berechnet, also den Lotfußpunkt berechnet.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Sa 13.02.2010 | | Autor: | Carina84 |
Hallo,
ich bedanke mich schonmal für Deine Hilfe!
Ich schaue mir die Aufgabe morgen noch einmal in Ruhe an, und schreibe dann meine Lösungsversuche.
Vektorrechnung hatte ich in der Schule nicht.
Mit Matrizen und Determinanten hab ich noch so meine Probleme, der Rest sitzt einigermaßen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 14.02.2010 | | Autor: | Carina84 |
So.. hab mir nochmal meine Gedanken gemacht.
zu a) meine Lösung:
[mm] \vektor{x \\ y \\z}=\vektor{1 \\ -6 \\ -1}+\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 }*\vektor{t_1 \\ t_2}
[/mm]
Stimmt nun hoffentlich ?
zu b) da hatte ich wirklich einen sehr dummen Denkfehler
hab Gauß angwendet bis ich zu folgendem kam: [mm] \pmat{ 1 & -2 & |1 \\ 0 & 1 & |2 \\ 0 & 0 & |0 }
[/mm]
d.h.: bei [mm] t_1=5 [/mm] und [mm] t_2=2 [/mm] liegt der Vektor [mm] x_2 [/mm] somit auf der Ebene
Falls das jetzt stimmt (wenn nicht verzweifel ich langsam) kann ich also a) bis d) lösen.
Nur e) fehlt mir noch.
Liebe Grüße, und Vielen Dank bis hier hin
Carina
|
|
|
| |
|
Hallo Carina84,
> So.. hab mir nochmal meine Gedanken gemacht.
>
> zu a) meine Lösung:
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\z}=\vektor{1 \\ -6 \\ -1}+\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 }*\vektor{t_1 \\ t_2}[/mm]
>
> Stimmt nun hoffentlich ?
Leider nicht.
Meine Vorrednerin hat Dir doch geschrieben,
daß die Gleichung so aussehen muss:
"Matrix * Vektor = Vektor"
Demnach lautet die Gleichung so:
[mm]\vektor{x \\ y \\z}=\pmat{ \blue{...} & -1 & 2 \\ \blue{...} & 0 & 3 \\ \blue{...} &1 & 2 }*\vektor{\blue{...} \\ t_1 \\ t_2}[/mm]
>
> zu b) da hatte ich wirklich einen sehr dummen Denkfehler
> hab Gauß angwendet bis ich zu folgendem kam: [mm]\pmat{ 1 & -2 & |1 \\ 0 & 1 & |2 \\ 0 & 0 & |0 }[/mm]
>
> d.h.: bei [mm]t_1=5[/mm] und [mm]t_2=2[/mm] liegt der Vektor [mm]x_2[/mm] somit auf
> der Ebene
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Falls das jetzt stimmt (wenn nicht verzweifel ich langsam)
> kann ich also a) bis d) lösen.
> Nur e) fehlt mir noch.
>
> Liebe Grüße, und Vielen Dank bis hier hin
> Carina
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 14.02.2010 | | Autor: | Carina84 |
Hallo MathePower
Also bei a) heißt es ja: "Stellen Sie die Ebene durch eine Matrixgleichung dar."
Ich weiß jetzt leider nicht wie man eine Matrixgleichung definiert, aber: $ [mm] \vektor{x \\ y \\z}=\vektor{1 \\ -6 \\ -1}+\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 }\cdot{}\vektor{t_1 \\ t_2} [/mm] $ ist doch eine Matrixgleichung, oder liege ich da falsch?
Und mit dieser Gleichung kann ich ja auch problemlos rechnen.
Mir ist leider keine Vorgehensweise bekannt wie ich das als "Matrix * Vektor = Vektor" darstellen soll.
Ist wahrscheinlich total einfach, aber ich glaube Lineare Algebra wird nicht mein Freund :(
weißt du vielleicht wie ich bei e) vorgehen soll?
Liebe Grüße
Carina
|
|
|
| |
|
> Hallo MathePower
>
> Also bei a) heißt es ja: "Stellen Sie die Ebene durch eine
> Matrixgleichung dar."
>
> Ich weiß jetzt leider nicht wie man eine Matrixgleichung
> definiert,
Hallo,
genau da scheint mir der Hund begraben zu sein, und Du solltest mal herausfinden, was da bei Euch mit gemeint ist oder gemeint sein könnte.
Bei der Lektüre von MathePowers Antwort sehe ich nämlich, daß er die Aufgabenstellung komplett anders auffaßt als ich,
nämlich so, daß man die in Parameterdarstellung vorgegebene Ebene schreibt als r=Matrix A* Vektor, also eine Weiterentwicklung dessen, was Du hier tust:
> aber: [mm]\vektor{x \\ y \\z}=\vektor{1 \\ -6 \\ -1}+\pmat{ -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 }\cdot{}\vektor{t_1 \\ t_2}[/mm]
> ist doch eine Matrixgleichung, oder liege ich da falsch?
> Und mit dieser Gleichung kann ich ja auch problemlos
> rechnen
>
> Mir ist leider keine Vorgehensweise bekannt wie ich das als
> "Matrix * Vektor = Vektor" darstellen soll.
Die Lösung hatte Mathepower mit dem Zaunpfahl winkend angedeutet, und Du warst im Eingangspost schon verflixt dicht dran.
Schau es Dir nochmal an und verbessere es mit Mathepowers Lösungsvorschlag.
Tut mir leid, wenn ich fälschlicherweise davon weggelenkt hatte,
ich hatte die Aufgabe völlig anders aufgefaßt, nämlich so, daß Du ein Gleichungssystem aufstellen sollst, dessen Lösung gerade diese Ebene ist.
Dazu hatte ich Dir zwei Wege geschildert.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
