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| Aufgabe | Gib eine Gleichung einer E3 in Normalenform an, die sowohl zu E1 als auch zu E2 orthogonal ist und den Punkt S(-2/1/2) enthält.
E1: [mm] x_{1}+ 4x_{2}+ 8x_{3} [/mm] = 18
E2: [mm] -8x_{1}+ 4x_{2} -x_{3} [/mm] = 18
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Guten Morgen!,
irgendwie finde ich mich mit dieser Aufgabe net zurecht... Das einzige was ich zu dieser Aufgabe weiß ist, dass wenn die Ebenen orthogonal zu einander sind $ [mm] \vec{n_1}\cdot{}\vec{n_2} [/mm] $=0 sein muss....bitte helft mir..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 So 26.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katharina!
Zunächst solltest Du Deine beiden Ebenen in die Normalenform bringen:
[mm] $E_1 [/mm] \ : \ [mm] x_1+4x_2+ 8x_3 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\4\\8}*\vec{x} [/mm] \ = \ 18$
[mm] $E_2 [/mm] \ : \ [mm] -8x_1+4x_2-x_3 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-8\\4\\-1}*\vec{x} [/mm] \ = \ 18$
Damit haben wir nun auch die beiden Normalenvektor [mm] $\vec{n}_1 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\4\\8}$ [/mm] sowie [mm] $\vec{n}_2 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-8\\4\\-1}$ [/mm] .
Die gesuchte Ebene [mm] $E_3$ [/mm] hat nun die Form: [mm] $E_3 [/mm] \ : \ [mm] \vec{n}_3*\left(\vec{x}-\vec{p}\right) [/mm] \ = \ 0$ .
Dabei soll der gesuchte Normalenvektor [mm] $\vec{n}_3 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_3\\y_3\\z_3}$ [/mm] jeweils senkrecht auf die anderen beiden Normalenvektoren stehen.
Wie Du bereits erkannt hast, muss dann also gelten:
[mm] $\red{\vec{n}_3*\vec{n}_1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_3\\y_3\\z_3}*\vektor{1\\4\\8} [/mm] \ = \ [mm] x_3+4*y_3+8*z_3 [/mm] \ [mm] \red{= \ 0}$
[/mm]
[mm] $\red{\vec{n}_3*\vec{n}_2} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_3\\y_3\\z_3}*\vektor{-8\\4\\-4} [/mm] \ = \ [mm] -8*x_3+4*y_3-z_3 [/mm] \ [mm] \red{= \ 0}$
[/mm]
Aus diesen beiden Gleichungen nun einen Normalenvektor [mm] $\vec{n}_3$ [/mm] ermitteln und mit den Punktkoordinaten des gegebenen Punktes anschließend in die o.g. Ebenengleichung für [mm] $E_3$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 So 26.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn ich mir das jetzt richtig im Kopf überlegt habe, könnte man es auch einfacher gestalten:
Die Schnittgerade der beiden Ebenen E1 und E2 muss ja senkrecht auf E3 stehen, also ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden ein (nicht-normierter) Normalenvektor.
Zusammen mit dem gegebenen Punkt lässt sich dann schnell die Normalenform durch Einsetzen aufstellen.
Also :
-Schnittgerade bestimmen
-falls notwendig Normalenvektor auf Länge 1 bringen
(habe leider vergessen, ob dies notwendig war)
-Punkt und berechneten Normalenvektor einsetzen.
ob dies nun einfacher ist, kann ich nicht beurteilen, aber es ist halt eine Alternative..
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 So 26.03.2006 | | Autor: | Blacky |
Hallo,
ich würde einfach das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren nehmen, denn dann erhält man einen neuen Vektor, der zu den beiden orthogonal ist und als Normalenvektor der gesuchten Ebene dienen kann.
[mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 8} \times \vektor{-8 \\ 4 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{-36 \\ -63 \\ 36}
[/mm]
Durch kürzen erhält man [mm] \vec{n_3}=\vektor{-4 \\ -7 \\ 4}
[/mm]
Damit die Ebene den Punkt enthält rechnet man
[mm] \vektor{-4 \\ -7 \\ 4}*\vektor{-2 \\ 1 \\ 2}=9
[/mm]
[mm] E_3: \vektor{-4 \\ -7 \\ 4}*\vec{x}=9
[/mm]
mfg blacky
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