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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Gesucht ist die parameterfreie Gleichung:
In E liegen die Punkte [mm] P_{1} [/mm] (1,2,3) und [mm] P_{2} [/mm] (3,2,1), E steht senkrecht auf der Ebene 4x - y + 2z = 7.
Mit der zweiten Ebene lässt sich ja der Normalenvektor bestimmen:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1 \\ 2} [/mm] oder eine Gleichung 4x - y + 2z - d = 0
Wie erhalte ich nun mit den Punkten zwei weitere Gleichungen?
Gruß Sue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mi 09.02.2005 | | Autor: | moudi |
> Gesucht ist die parameterfreie Gleichung:
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> In E liegen die Punkte [mm]P_{1}[/mm] (1,2,3) und [mm]P_{2}[/mm] (3,2,1), E
> steht senkrecht auf der Ebene 4x - y + 2z = 7.
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> Mit der zweiten Ebene lässt sich ja der Normalenvektor
> bestimmen:
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -1 \\ 2}[/mm] oder eine Gleichung 4x - y
> + 2z - d = 0
>
> Wie erhalte ich nun mit den Punkten zwei weitere
> Gleichungen?
Hallo Sue
das Ganze lässt sich vereinfachen, wenn man direkt auf den Normalenvektor der gesuchten Ebene zusteuert. Dieser Vektor steht senkrecht zu [mm] $\overrightarrow{P_1P_2}$, [/mm] da dieser Vektor parallel zur Ebene ist. Ausserdem ist der gesuchte Vektor auch senkrecht zum Normalenvektor der Ebene $4x - y + 2z = 7$, da der Winkel zwischen zwei Ebenen gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren ist.
Langer Rede kurzer Sinn: Der gesuchte Normalenvektor ist das Vektorprodukt von [mm] $\overrightarrow{P_1P_2}$ [/mm] und [mm] $\vektor{4 \\ -1\\ 2}$.
[/mm]
mfG Moudi
>
> Gruß Sue
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Do 10.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Danke, aber ich meine, wie ich hier die beiden Punkte einsetze um auf die gesuchte Ebenengleichung zu kommen.
Sue
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Sue
wenn du also den guten Tip von moudi nicht berücksichtigen willst, dann eben so:
Der Normalenvektor der gegebenen Ebene, also
[mm] $\vektor{4\\-1\\2}$ [/mm]
muss in der gesuchten Ebene liegen. Den kannst du also als einen Richtungsvektor nehmen. Ein zweiter Richtungsvektor wird bestimmt durch die beiden gegebenen Punkte [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$.
[/mm]
Der Vektor, der von [mm] $P_1$ [/mm] nach [mm] $P_2$ [/mm] ist:
[mm] $\vektor{2\\0\\-2}$
[/mm]
Mit [mm] $P_1$ [/mm] als Stützvektor bekommst du (so wird also ein Punkt eingesetzt):
[mm] $\vektor{1\\2\\3}+r\vektor{2\\0\\-2}+s\vektor{4\\-1\\2}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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