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Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Do 28.12.2006
Autor: Phecda

hi bereite mich gerade aufs abi vor. hab deshalb etwas viele fragen
wie viele ebenen durch die punkte A(2|3|4) und B(6|5|16) gibt es, die zum Ursprung den Abstand 2 haben?
bestimmen sie für jede Ebene eine gleichung
irgendwie hab ich absolut kein ansatz
kann jmd helfen
danke mfg

        
Bezug
Ebene: Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Do 28.12.2006
Autor: M.Rex

Hallo

Dazu ist es am Einfachsten, sich die Gerade in Normalenform zu konstruieren:

Also: [mm] \vec{n}*\vec{n}=d, [/mm] dann hast du nur drei Variablen.

Für den Normalenvektor n gilt:

[mm] \vec{n}\perp\overrightarrow{AB} [/mm]
[mm] \gdw\vec{n}*\overrightarrow{AB}=0 [/mm]

und es gilt, da A und B auf der Ebene Liegen:

[mm] \vec{n}*\vec{a}=\vec{n}*\vec{b} [/mm]

Und ausserdem

[mm] |\vec{n}|=2 [/mm]

Jetzt hast du drei Bedingungen für [mm] \vec{n}=\vektor{n_{1}\\n_{2}\\n_{3}} [/mm] der ja drei Variablen hat.

Hilft das erstmal weiter?

Marius


Bezug
        
Bezug
Ebene: anderer Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Phecda!


Verwende hier die Hesse'sche Normalform und setze die gegebenen Punktkoordinaten ein:

[mm] $\vec{n}_0*\vec{p} [/mm] \ = \ d$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]

[mm] $\vektor{n_1\\n_2\\n_3}*\vektor{2\\3\\4} [/mm] \ = \ [mm] 2*n_1+3*n_2+4*n_3 [/mm] \ = \ 2$

[mm] $\vektor{n_1\\n_2\\n_3}*\vektor{6\\5\\16} [/mm] \ = \ [mm] 6*n_1+5*n_2+16*n_3 [/mm] \ = \ 2$


Zudem gilt für [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] als Einheitsvektor: [mm] $\wurzel{n_1^2+n_2^2+n_3^2} [/mm] \ = \ 1$


Gruß
Loddar




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