Durchschnitt von Normalteilern < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | | Man beweise: Der Durchschnitt von Normalteilern einer Gruppe ist wieder Normalteiler. |
Hallo!
Ich soll diese Aufgabe lösen, habe auch eine Idee, würde jedoch gerne mal eure Meinung dazu hören, weil ich mir nicht sicher bin ob diese Beweisführung zum Ergebnis führt.
Ich benutze das Normalteilerkriterium: [mm] aUa^{-1}\subseteq [/mm] U
[mm] \Rightarrow (aUa^{-1})\cap(aUa^{-1})\cap(aUa^{-1})\cap...\cap(aUa^{-1})\subseteq [/mm] U
Umklammern:
[mm] \Rightarrow aU\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}U\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}U\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}...\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}Ua^{-1}\subseteq [/mm] U
[mm] \Rightarrow aUUa^{-1} \subseteq [/mm] U
[mm] \Rightarrow aUa^{-1} \subseteq [/mm] U
Hier wär ich jetzt fertig, aber ich glaube nicht dass ich das so als Beweis nehmen kann oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 23.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise: Der Durchschnitt von Normalteilern einer
> Gruppe ist wieder Normalteiler.
> Hallo!
> Ich soll diese Aufgabe lösen, habe auch eine Idee, würde
> jedoch gerne mal eure Meinung dazu hören, weil ich mir
> nicht sicher bin ob diese Beweisführung zum Ergebnis
> führt.
>
> Ich benutze das Normalteilerkriterium: [mm]aUa^{-1}\subseteq[/mm] U
>
> [mm]\Rightarrow (aUa^{-1})\cap(aUa^{-1})\cap(aUa^{-1})\cap...\cap(aUa^{-1})\subseteq[/mm]
> U
>
> Umklammern:
>
> [mm]\Rightarrow aU\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}U\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}U\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}...\underbrace{(a^{-1}\cap a)}_{=\emptyset}Ua^{-1}\subseteq[/mm]
> U
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> [mm]\Rightarrow aUUa^{-1} \subseteq[/mm] U
> [mm]\Rightarrow aUa^{-1} \subseteq[/mm] U
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> Hier wär ich jetzt fertig, aber ich glaube nicht dass ich
> das so als Beweis nehmen kann oder?
Nein !!!!. Obiges ist schon sehr "abenteuerlich".
Sei G eine Gruppe und [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] seien Normalteiler von G.
Setze $U:= [mm] U_1 \cap U_2$ [/mm] und zeige: U ist ein Normalteiler von G
Dazu mußt Du zeigen:
1. U ist eine Untergruppe von G
und
2. [mm] $aUa^{-1}=U$ [/mm] für jedes a [mm] \in [/mm] G.
FRED
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