Dualraum eines norm. Raumes < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Mo 25.04.2005 | | Autor: | phyzard |
Hallo ihr Mathematiker,
es gibt einen Satz, der lautet:
Fall F ein Banachraum ist, so ist L(E,F), also der Raum der linearen Operatoren von E nach F (beide normiert), ausgestattet mit der Operatornorm ein Banachraum.
Eine Folgerung daraus ist angeblich:
Der Dualraum E' des normierten Raumes E ist Banachraum.
Da stellt sich mir die Frage, ob dies wirklich in aller Allgemeinheit gilt. Denn das würde ja voraussetzen, dass jeder Körper (als Bildraum der Elemente des Dualraumes) vollständig ist. Und das ist soweit ich weiß nicht der Fall. Oder setzt man hier stillschweigend die Wahl von [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] voraus?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Martin
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Di 26.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Martin!
Du hast vollkommen Recht. Im Allgemeinen wird eine Norm nur auf [mm] $\IK$-Vektorräumen [/mm] mit [mm] $\IK \in \{\IR,\IC\}$ [/mm] definiert. Daher setzt man dies hier voraus.
Aber schön, dass du dir solche Gedanken machst!! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Viele Grüße
Julius
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