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| Aufgabe | Jede lin Abbildung [mm] \phi:V->W [/mm] induziert eine lineare abbildung [mm] \phi^t [/mm] :W* -> V*, [mm] \phi^t(\beta)=\beta \circ \phi
[/mm]
[mm] \beta \in [/mm] W*
Zeige L(V,W) -> L(W*,V*), [mm] \phi [/mm] -> [mm] \phi^t [/mm] ist injektiv |
Sei [mm] \phi \in [/mm] L(V,W) nicht die Nullfunktion so [mm] \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V : [mm] \phi(v)\not=0
[/mm]
Nach Korollar [mm] \exists [/mm] lineares [mm] \beta:W->\IK [/mm] so dass [mm] \beta(\phi(v))=1
[/mm]
d.h. [mm] \beta \in [/mm] W*
Ich müsste jetzt irgendwie zeigen $ [mm] \phi^t(\beta) \not= [/mm] $ 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 So 12.02.2012 | | Autor: | jumape |
Hallo,
Injektivität zeigt man eigentlich indem man zeigt, dass der Kern trivial ist.
D.h. hier, wenn [mm] \Phi^t=0 [/mm] dann auch [mm] \Phi=0.
[/mm]
Ich nehme an das wolltest du auch tun.
Wir gehen jetzt also davon aus das gilt:
[mm] \Phi^t=0
[/mm]
Jetzt müssen wir zeigen, dass dann auch [mm] \Phi=0 [/mm] sein muss. Dazu gehen wir davon aus, dass [mm] \Phi\not=0 [/mm] und führen dies zum Widerspruch:
[mm] \Phi\not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow\exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] \Phi(v)\not=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow\exists [/mm] lineares ß [mm] \in [/mm] W*: ß [mm] (\Phi(v))=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \Phi^t(v)= [/mm] ß [mm] (\Phi(v))=1
[/mm]
Damit wäre die Bedingung [mm] \Phi^t(v)=0 \forall v\in [/mm] V verletzt und unsere Annahme [mm] \Phi\not=0 [/mm] zum Widerspruch geführt. Also muss gelten [mm] \Phi=0
[/mm]
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