Dualraum, Annulator < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 28.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
Seien V,W Vektorräume, F: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung, und U < V ein Unterraum. Zeigen Sie, dass F* (U°)=(F^-1(U))°.
Mit F* bezeichne ich den Dualraum von F und U° ist der Annulator von U.
F* ist ja die Abbildung: W* [mm] \to [/mm] V*, aber U° ist eine Teilmenge von V*. Was ist dann F*(U°). U° ist doch nicht im Definitionsbereich... Wie kann ich da F*(U°) bestimmen. Genauso bei F^-1(U). F^-1: W [mm] \to [/mm] V , aber U ist eine Teilmenge von V...
Ich hoffe ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt.
Gruß Marietta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Do 28.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marietta!
Du hast Recht, es ist ein Fehler in der Aufgabenstellung und es muss $U<W$ heißen.
Kommst du denn dann mit der Aufgabe klar oder hast du trotzdem noch Fragen?
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Fr 29.04.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Also wenn U<W dann verstehe ich die Aufgabe, aber lösen...
F*(U°) ist ja eine Teilmenge von V* da F*: W* [mm] \to [/mm] V* ist.
F^-1 (U) ist eine Teilmenge von V da F^-1: W [mm] \to [/mm] V. Wenn ich jetzt
(F^-1 (U))° bilde muss dass ja eine Teilmenge von V* sein, aber wie zeige
ich jetzt dass die beiden Teilmengen von V* gleich sind?
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marietta!
Alxo, ich fange mal an:
[mm] $(F^{-1}(U))^0$
[/mm]
$= [mm] \{\psi \in V^{\*}\, : \, \psi(v) = 0 \ \forall v \in F^{-1}(U)\}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(1)}{=} \{\psi \in V^{\*}\, : \, \exists \ \varphi \in W^{\*} \, : \, \varphi(u) = 0 \ \forall u \in U \ \mbox{und} \ \psi=\varphi \circ F\}$
[/mm]
[mm] $=F^{\*}(U^0)$.
[/mm]
Jetzt müssen wir uns über die Gleichheit (1) Gedanken machen:
[mm] "$\subset$": [/mm] (ich mache es nur umgangssprachlich und überlasse die mathematischen Feinheiten dir zur Übung)
Wähle eine Basis von $U$ und ergänze diese zu einer Basis von $W$. Definiere [mm] $\varphi$ [/mm] so, dass [mm] $\varphi$ [/mm] auf der Basis von $U$ verschwindet und setze [mm] $\varphi$ [/mm] linear fort.
[mm] "$\supset$":
[/mm]
Völlig klar aus der Definition beider Mengen!
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 01.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo Stefan.
Danke für deine Antwort
Ich verstehe es aber noch nicht so ganz:
Ich eine Basis von U: B={u1,...,uk} und ergänze sie zu einer Basis von W: C={u1,...,uk,wk+1,...wn}.
Definiere f: f = r1*u1 + r2*u2 + ... + rk*uk + rk+1*wk+1 + ... + rn*wn
Aber was heißt jetzt "dass f auf der Basis von u verschwindet und setze f linear fort"?
Gruß Marietta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marietta!
Ich meinte nur, dass man natürlich für jeden Unterraum eine Linearform findet, die (genau) auf diesem Unterraum verschwindet.
Viele Grüße
Stefan
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