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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Do 28.01.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und U ein K-Vektorraum. Sei U* : = [mm] Hom_K [/mm] (U,K) der K-VR von lin. Abb. (Dualraum von U). Es gilt [mm] dim_K(U*) [/mm] = [mm] dim_K(U). [/mm] Basis von U: [mm] B=(u_1,...,u_n), [/mm] seien damit die linearen Abbildungen [mm] (\phi_1,...,\phi_n) [/mm] def. Dabei ist [mm] \phi_i [/mm] gegeben durch [mm] \phi_i(\lambda_1 u_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_n u_n) [/mm] = [mm] \lambda_i. [/mm] B* = [mm] (\phi_1, [/mm] ... , [mm] \phi_n) [/mm] ist eine Basis von U* (Duale Basis zu B)
a) Seien U,V K-VR und [mm] \psi: [/mm] U [mm] \to [/mm] V eine lin. Abb. Zeige, dass die Abb.:
[mm] \psi [/mm] * : V* [mm] \to [/mm] U*, [mm] \psi [/mm] * [mm] (\phi) [/mm] = [mm] \phi \circ \psi [/mm]
[mm] (\phi \in [/mm] V*) auch linear ist.
b) Seien jetzt U,V endlich dimensional mit Basen [mm] B_U, B_V [/mm] und [mm] \psi [/mm] : U [mm] \to [/mm] V ein lin. Abb.
Berechne [mm] M(B_U [/mm] *, [mm] B_V [/mm] *; [mm] \psi [/mm] *) aus [mm] M(B_V, B_U; \psi) [/mm] |
a)
Seien [mm] \phi_1, \phi_2 \in [/mm] V*
[mm] \psi [/mm] * ( [mm] \phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2) [/mm] = [mm] (\phi_1+\phi_2) \circ \psi [/mm] =(weil [mm] \phi [/mm] linear) [mm] \phi_1 \circ \psi [/mm] + [mm] \phi_2 \circ \psi [/mm] = [mm] \psi [/mm] * [mm] (\phi_1) [/mm] + [mm] \psi [/mm] * [mm] (\phi_2)
[/mm]
[mm] \psi [/mm] * [mm] (\lambda \phi [/mm] ) = [mm] (\lambda \phi) \circ \psi [/mm] = (weil [mm] \phi [/mm] linear) [mm] \lambda \phi \circ \psi [/mm] = [mm] \lambda \psi [/mm] * ( [mm] \phi)
[/mm]
Ist das so ok?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:48 Fr 29.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper und U ein K-Vektorraum. Sei U* : = [mm]Hom_K[/mm]
> (U,K) der K-VR von lin. Abb. (Dualraum von U). Es gilt
> [mm]dim_K(U*)[/mm] = [mm]dim_K(U).[/mm] Basis von U: [mm]B=(u_1,...,u_n),[/mm] seien
> damit die linearen Abbildungen [mm](\phi_1,...,\phi_n)[/mm] def.
> Dabei ist [mm]\phi_i[/mm] gegeben durch [mm]\phi_i(\lambda_1 u_1[/mm] + ... +
> [mm]\lambda_n u_n)[/mm] = [mm]\lambda_i.[/mm] B* = [mm](\phi_1,[/mm] ... , [mm]\phi_n)[/mm] ist
> eine Basis von U* (Duale Basis zu B)
>
> a) Seien U,V K-VR und [mm]\psi:[/mm] U [mm]\to[/mm] V eine lin. Abb. Zeige,
> dass die Abb.:
> [mm]\psi[/mm] * : V* [mm]\to[/mm] U*, [mm]\psi[/mm] * [mm](\phi)[/mm] = [mm]\phi \circ \psi[/mm]
> [mm](\phi \in[/mm] V*) auch linear ist.
>
> b) Seien jetzt U,V endlich dimensional mit Basen [mm]B_U, B_V[/mm]
> und [mm]\psi[/mm] : U [mm]\to[/mm] V ein lin. Abb.
> Berechne [mm]M(B_U[/mm] *, [mm]B_V[/mm] *; [mm]\psi[/mm] *) aus [mm]M(B_V, B_U; \psi)[/mm]
>
> a)
> Seien [mm]\phi_1, \phi_2 \in[/mm] V*
> [mm]\psi[/mm] * ( [mm]\phi_1[/mm] + [mm]\phi_2)[/mm] = [mm](\phi_1+\phi_2) \circ \psi[/mm]
> =(weil [mm]\phi[/mm] linear) [mm]\phi_1 \circ \psi[/mm] + [mm]\phi_2 \circ \psi[/mm]
> = [mm]\psi[/mm] * [mm](\phi_1)[/mm] + [mm]\psi[/mm] * [mm](\phi_2)[/mm]
>
> [mm]\psi[/mm] * [mm](\lambda \phi[/mm] ) = [mm](\lambda \phi) \circ \psi[/mm] = (weil
> [mm]\phi[/mm] linear) [mm]\lambda \phi \circ \psi[/mm] = [mm]\lambda \psi[/mm] * (
> [mm]\phi)[/mm]
>
> Ist das so ok?
Eventuell musst du noch auf die "weil [mm] $\phi$ [/mm] linear" genauer eingehen, je nachdem wie das bei euch gehandhabt wird. Davon abgesehen stimmt es aber.
(Alternativ kannst du auch ein $u [mm] \in [/mm] U$ waehlen und [mm] $\psi^\ast(\phi_1 [/mm] + [mm] \phi_2)(u)$ [/mm] ausrechnen und mit [mm] $(\psi^\ast(\phi_1) [/mm] + [mm] \psi^\ast(\phi_2))(u)$ [/mm] vergleichen; und analog fuer die Skalarmultiplikation.)
LG Felix
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