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| Aufgabe | Sei V ein k-Vektorraum und es seien U, [mm] U_1, U_2 \subseteq [/mm] V Untervektorräume von V und W, [mm] W_1, W_2 \subseteq [/mm] V* Untervektorräume des Dualraums von V.
Dann gilt:
a) [mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] => [mm] ^{\perp}U_2 \subseteq ^{\perp}U_1 [/mm] und [mm] W_1 \subseteq W_2 [/mm] => [mm] W_2^{\perp} \subseteq W_1^{\perp}
[/mm]
b) U [mm] \subseteq (^{\perp}U) ^{\perp} [/mm] und W [mm] \subseteq ^{\perp}(W^{\perp})
[/mm]
c) [mm] ^{\perp}(U_1+U_2) [/mm] = [mm] ^{\perp}U_1 \cap ^{\perp}U_2 [/mm] und [mm] (W_1+W_2)^{\perp} [/mm] = [mm] W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp} [/mm] |
zu a):
[mm] ^{\perp}U_1 [/mm] = { [mm] \alpha \in [/mm] V*| [mm] \alpha(u_1) [/mm] = 0 [mm] \forall u_1 \in U_1 [/mm] }
[mm] ^{\perp}U_2 [/mm] = { [mm] \alpha \in [/mm] V*| [mm] \alpha(u_2) [/mm] = 0 [mm] \forall u_2 \in U_2 [/mm] }
Sei nun [mm] \alpha \in ^{\perp}U_2 [/mm] => [mm] \alpha(u_2) [/mm] = 0 [mm] \forall u_2 \in U_2. [/mm] Da [mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] ist insbesondere [mm] \alpha(u_1) [/mm] = 0 [mm] \forall u_1 \in U_1 [/mm] => [mm] \alpha \in ^{\perp}U_1 [/mm] => [mm] ^{\perp}U_2 \subseteq ^{\perp}U_1
[/mm]
Richtig?
Analog zeigt man die andere Aussage bei a).
zu b):
Hier weiß ich nicht, wie ich argumentieren kann. Die Aussage ist mir absolut klar, aber das formal zu zeigen, bereitet mir Schwierigkeiten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Do 02.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei V ein k-Vektorraum und es seien U, [mm]U_1, U_2 \subseteq[/mm] V
> Untervektorräume von V und W, [mm]W_1, W_2 \subseteq[/mm] V*
> Untervektorräume des Dualraums von V.
> Dann gilt:
> a) [mm]U_1 \subseteq U_2[/mm] => [mm]^{\perp}U_2 \subseteq ^{\perp}U_1[/mm]
> und [mm]W_1 \subseteq W_2[/mm] => [mm]W_2^{\perp} \subseteq W_1^{\perp}[/mm]
>
> b) U [mm]\subseteq (^{\perp}U) ^{\perp}[/mm] und W [mm]\subseteq ^{\perp}(W^{\perp})[/mm]
>
> c) [mm]^{\perp}(U_1+U_2)[/mm] = [mm]^{\perp}U_1 \cap ^{\perp}U_2[/mm] und
> [mm](W_1+W_2)^{\perp}[/mm] = [mm]W_1^{\perp} \cap W_2^{\perp}[/mm]
> zu a):
> [mm]^{\perp}U_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\alpha \in[/mm] V*| [mm]\alpha(u_1)[/mm] = 0 [mm]\forall u_1 \in U_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> [mm]^{\perp}U_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\alpha \in[/mm] V*| [mm]\alpha(u_2)[/mm] = 0 [mm]\forall u_2 \in U_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> Sei nun [mm]\alpha \in ^{\perp}U_2[/mm] => [mm]\alpha(u_2)[/mm] = 0 [mm]\forall u_2 \in U_2.[/mm]
> Da [mm]U_1 \subseteq U_2[/mm] ist insbesondere [mm]\alpha(u_1)[/mm] = 0
> [mm]\forall u_1 \in U_1[/mm] => [mm]\alpha \in ^{\perp}U_1[/mm] =>
> [mm]^{\perp}U_2 \subseteq ^{\perp}U_1[/mm]
> Richtig?
Ja.
> Analog zeigt man die andere Aussage bei a).
Ich hoffe du fuehrst das in der Loesung aus; einfach ``analog'' zu schreiben sollte man erst wenn es einem klar genug ist das man nicht beim ersten Loesungsweg fragen muss ob er richtig ist 
> zu b):
> Hier weiß ich nicht, wie ich argumentieren kann. Die
> Aussage ist mir absolut klar, aber das formal zu zeigen,
> bereitet mir Schwierigkeiten.
Nun, genauso wie bei a). Nimm ein Element der linken Seite und zeige dass es in der rechten liegt. Was bedeutet [mm] $(^\perp U)^\perp$ [/mm] denn? Schreib es doch mal genau auf. Das sind doch alle Elemente aus $V$, die von jedem Element aus [mm] $^\perp [/mm] U$ auf 0 befoerdert werden. Du musst also fuer [mm] $\alpha \in {^\perp U}$ [/mm] und $u [mm] \in [/mm] U$ zeigen, dass [mm] $\alpha(u) [/mm] = 0$ gilt. Und...?
LG Felix
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