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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Lanee |
| Aufgabe | Sei (V;< , >) ein euklidischer Vektorraum. Zeigen Sie, dass V kanonisch isomorph ist zu dem dualen Vektorraum V*, d.h. zu dem Vektorraum [mm] Hom\IR(V, \IR). [/mm] Benutzen sie dazu das Skalarprodukt, also die Abbildung, die einem v [mm] \in [/mm] V die lineare Abbildung
<v,_> : V [mm] \to \IR, [/mm] w [mm] \mapsto [/mm] <v,w>
zuordnet. |
Hallo,
mein Hauptproblem ist, dass ich die Aufgabenstellung nicht verstehe. Die Begriffe sind mir alle bekannt, aber ich weiß nicht, was ich wirklich zeigen soll.
Als Tipp haben wir bekommen, dass wir eine bijektive Abbildung f finden sollen mit:
f: V [mm] \to [/mm] V* bzw. f: V [mm] \to [/mm] (V [mm] \to \IR)
[/mm]
Ist damit gemeint - im Zusammenhang mit der Aufgabenstellung - dass eine bijektive Abbildung gesucht wird, die eine "Verknüpfung" mit dem Skalarprodukt ist? Das Skalarprodukt ist aber doch nicht bijektiv? Ich bin im Moment etwas überfordert.
Ich bitte also gar nicht um eine Lösung der Aufgabe, das möchte ich schon gerne selbst versuchen, aber ich wüsste gerne, was hier wirklich zu zeigen ist.
Danke schön und lieben Gruß.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Sa 28.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
Du sollst einen Isomorphismus zwischen V und [mm] Hom(V,\IR) [/mm] angeben, also einen bijektiven Homomorphismus. Dieser sieht mir nach der Aufgabenstellung folgendermaßen aus:
f:V [mm] \to Hom(V,\IR) [/mm] mit v [mm] \mapsto [/mm] (<v,*> [mm] \mapsto [/mm] <v,w>)
d.h. ein Vektor v [mm] \in [/mm] V wird abgebildet auf eine Abbildung, die <v,*> auf <v,w> abbildet, also g(w) = <v,w> mit g:V [mm] \to \IR
[/mm]
Du musst jetzt nur zeigen, dass f ein bijektiver Homomorphismus ist, was aber wegen der Bilinearität des Skalarproduktes weniger problematisch sein dürfte!
Viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Matthias.
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