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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mi 03.12.2008 | | Autor: | sarcz |
Hallo liebe Mathe Profis, wie kann ich durch Integrieren das Volumen dieses Körpers bestimmen???
Berechnen Sie
[mm] \integral_{}^{}\integral_{V}^{}\integral_{}^{} [/mm] (x+y) dV
wobei V durch die Punkte
A=(0,0,0) ; B=(1,0,0) ; C=(0,2,0) ; D=(0,0,1) bestimmt ist.
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo sarcz,
> Hallo liebe Mathe Profis, wie kann ich durch Integrieren
> das Volumen dieses Körpers bestimmen???
>
> Berechnen Sie
>
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{V}^{}\integral_{}^{}[/mm] (x+y) dV
>
> wobei V durch die Punkte
> A=(0,0,0) ; B=(1,0,0) ; C=(0,2,0) ; D=(0,0,1) bestimmt
> ist.
Ich vermisse Deine eigenen Lösungsansätze.
Lies Dir dazu unsere Forenregeln durch.
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mi 03.12.2008 | | Autor: | sarcz |
Leider weiss ich nicht auf welche Art und Weise ich die Integrationgrenzen setzten soll...ohne diese werde ich kaum einen Lösungsansatz einbringen können...
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Hallo sarcz,
> Leider weiss ich nicht auf welche Art und Weise ich die
> Integrationgrenzen setzten soll...ohne diese werde ich kaum
> einen Lösungsansatz einbringen können...
Die Integrationsgrenzen sind durch die Punkte vorgegeben.
A=(0,0,0) ; B=(1,0,0) ; C=(0,2,0) ; D=(0,0,1)
Der Integrationsweg von A nach B ist der Weg, den die x-Koordinate durchläuft. (x läuft hier von 0 bis 1, y,z sind hier konstant)
Demnach kannst Du diesen Weg parametrisieren:
[mm]x=0+t*1, \ 0 \le t \le 1[/mm]
Und die Werte die der Parameter t durchläuft sind jetzt die Integrationsgrenzen für x.
Bei den Wegen für y und z läuft das analog.
Und jetzt darfst Du Dein Glück versuchen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mi 03.12.2008 | | Autor: | sarcz |
Somit müssten die Grenzen folgendermaßen sein...
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1} [/mm] (x+y) dz dy dx
so folgt die Logik...es ist aber anscheinend nicht so...ich glaube dy und dz Grenzen müssen auch nach den x bzw y Variablen zusammenhängen...
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Hallo sarcz,
> Somit müssten die Grenzen folgendermaßen sein...
>
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{1}[/mm] (x+y)
> dz dy dx
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> so folgt die Logik...es ist aber anscheinend nicht so...ich
> glaube dy und dz Grenzen müssen auch nach den x bzw y
> Variablen zusammenhängen...
Ich sehe hier keine Abhängigkeit zwischen den Variablen.
Es sei denn, bei der Aufgabenstellung fehlt noch etwas.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Mi 03.12.2008 | | Autor: | sarcz |
Hier ist noch ein Bild...der Körper ist eine Pyramide die sich in der Ecke befindet bei (0;0). Wenn man aus der x-y Ebene schaut ist es eine Schräge die von x = 1 zu y = 2 läuft. Ergebniss ist 1/4
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Do 04.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Hier ist noch ein Bild...der Körper ist eine Pyramide die
> sich in der Ecke befindet bei (0;0). Wenn man aus der x-y
> Ebene schaut ist es eine Schräge die von x = 1 zu y = 2
jop
> läuft. Ergebniss ist 1/4
wie kommst du da drauf?? Ich erhalte den Wert 3 -- aber es ist ja auch schon spät (für mich 
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Do 04.12.2008 | | Autor: | sarcz |
Ja ich bekomme auch den Wert 3 heraus...aber hier steht 1/4...kann mir nicht vorstellen das dies ein Fehler ist???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Do 04.12.2008 | | Autor: | sarcz |
Dies ist aus dem Skript einer Mathedoktorin...ok Fehler kommen natürlich bei jedem vor...aber dann ist dieser bereits ein halbes Jahr alt...
Falls sich jemand noch damit beschäftigen möchte...und vielleicht auf das Ergebniss kommt...ich halte die Frage hiermit offen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:33 Do 04.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ohne jede Integralrechnung: in der x-y Ebene ein Dreieck Katheten der Länge 1 und 2 Fläche also 1. die Höhe in z Richtung ist 1. Das Volumen also 1*1/3=1/3
So wie du das Integral hingeschrieben hast gibt es auch nicht das Volumen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Do 04.12.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Leduart,
du hast natürlich recht [mm] V=\bruch{1}{3}*A*h [/mm] 
edit: trotzdem liegt der Wert dieses Integrals bei 3. Mussten hier evtl. doch die Grenzen angepasst werden?
Wenn der Integrand nun [mm] f(x,y,z)=x^2y^3 [/mm] lauten würde, dann würde z.B. der Wert 14/3 herauskommen.
Also klappt doch die geometrische Deutung mit dem Tetraeder nicht. Hat jemand eine Erklärung?
Lg
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Do 04.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Integrationsgrenzen stimmen nicht!
Mann kann nicht einfach den Linien entlang integrieren. wenn man sich die Integration etwa in x Richtung vorstellt, integriert man ja das Gebiet durch Streifen der Breite x. die sind aber bei x=1 0 hoch bei x=0 2 hoch.
Also wenn mein V nur die Fläche in der Ebene wäre gilt :
[mm] A(z=0)=\integral_{0}^{2}({\integral_{0}^{y/2-1}{ dx) dy}}
[/mm]
oder [mm] A(z=0)=\integral_{0}^{1}({\integral_{2-2x}^{0}{dy) dx}}
[/mm]
[mm] A_0*dz [/mm] ist das Volumen der untersten Schicht. jetzt müssen noch all die kleineren Schichten bis A(z=1)=0 addiert werden.
Wenn statt 1 ne Funktion f(x,y,z) da drin steht, stell ich mir die als Dichte vor und addier statt einfach Volumen eben erst streifen- dann schichtenweise Massen.
Gruss leduart
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