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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert des Integrals [mm] \integral\integral\integral_{B}f(x,y,z)dxdydz, [/mm] wobei B durch ...
1) [mm] x^{2}+y^{2}=3z [/mm] und
2) z=3 begrenzt wird und
3) [mm] f(x,y,z)=x+2y^{2} [/mm] |
Hallo ihr,
zugegeben, ich habe noch nie solch eine Aufgabe gelöst. Nichtsdestotrotz versuchte ich sie zu lösen. Hab mich auf Wikipedia mal ein bisschen in die Materie reingelesen und anschließend das Beispiel gerechnet. Danach hab ich ein verdammt gutes Gefühl ghabt, so als ob ich ohne Schwierigkeiten das Beispiel gelöst habe (und es war auch so).
Ich bin folgend vorgegangen:
1) Ich hab bemerkt, dass [mm] 3z=x^{2}+y^{2} [/mm] sehr einer Kreisgleichung ähnelt. Daher wusste ich, dass der Graph so ähnlich wie die Funktion [mm] x^{2} [/mm] aussieht, aber im 3-Dimensionalen. z kann also nicht kleiner als 0 werden. Und da z=3 ist (siehe Bedingung), konnte ich folgende "Intervalle" berechnen:
[mm] y=\pm\wurzel{3z-x^2}=\pm\wurzel{3^{2}-x^{2}}
[/mm]
[mm] x=\pm\wurzel{3z-y^2}=\pm\wurzel{3^{2}-y^{2}}
[/mm]
2) Ich stellte folgende Aussage auf:
[mm] K=\{(x,y,z)|-\wurzel{3^{3}-y{2}}\le x \le +\wurzel{3^{3}-y{2}}, -\wurzel{3^{3}-x{2}}\le y \le +\wurzel{3^{3}-x{2}}, 0\le z \le 3 \}
[/mm]
3) Das Integral lautet daher:
[mm] \integral_{0}^{3}{\integral_{-\wurzel{3^{2}-x^{2}}}^{+\wurzel{3^{2}-x^{2}}}{\integral_{-\wurzel{3^{2}-y^{2}}}^{-\wurzel{3^{2}-y^{2}}}{(x+2y^{2}) dx} dy} dz}
[/mm]
Sagt mir bitte, dass das stimmt, denn dann hab ich mal 'n mords Patzn Freude!!!
Gruß, h.
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Hallo!
Das ist schon nicht schlecht, allerdings hast du da eine Sache übersehen:
Wenn du beispielweise als erstes über y integrierst, sollten die Grenzen nur noch x und z enthalten.
Wenn du danach über x integrierst, sollten die Grenzen nur noch z enthalten, und bei der letzten Integration über z sollten nur noch Zahlen in den Grenzenstehen. Dein Integral würde nach der Integration über y z.B. immernoch ein y enthalten, und das soll nicht sein.
Nun, deine geometrische Interpretation stimmt. Jetzt bildet man sich die Intervalle, in denen sich die Variablen bewegen:
$z [mm] \in [/mm] [0; 3]$ sollte ja klar sein.
Jetzt schaun wir uns die Gleichung
[mm] $x^2+y^2=3z$ [/mm] an. Wenn z festgelegt ist, kann y ja maximal [mm] \pm\wurzel{3z} [/mm] groß werden, an den STellen ist dann x=0:
$y [mm] \in [-\wurzel{3z}; +\wurzel{3z}]$
[/mm]
Und jetzt x: Ausgehend von y und z kann das auch nur bestimmte maximale Werte annehmen, und man kommt dann auf:
$x [mm] \in [-\wurzel{3z-y^2}; +\wurzel{3z-y^2}]$
[/mm]
Damit liegen deine Grenzen fest:
[mm] $\integral_0^3 [/mm] dz [mm] \integral_{-\wurzel{3z}}^{+\wurzel{3z}} [/mm] dy [mm] \integral_{-\wurzel{3z-y^2}}^{+\wurzel{3z-y^2}}dx [/mm] f(x,y,z)$
Diese Schreibweise sieht merkwürdig aus, ist mathematisch aber korrekt und zeigt außerdem, welche Grenzen zu welcher Variablen gehören.
Beachte nun, wenn du über x integrierst, verschwindet x komplett aus der Gleichung, danach y auch, und schließlich steht da nur noch z, für das bei der Integration Zahlenwerte eingesetzt werden.
Allerdings weiß ich nun nicht, ob du das Integral gelöst bekommst, ich würde eher zu Polarkoordinaten übergehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Braunstein |
Vielen Dank für die Tipps.
Das Integral zu lösen soll kein Problem sein. Wenn's mit Substitutionen nicht geht, dann werd ich's wohl mit Polarkoordinaten machen.
Gruß, h.
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Nimm am besten gleich Zylinderkoordinaten (Hab ich Polarkoordinaten gesagt?)
Die einzige Schwiereigkeit besteht in der Integration von einem sin².
Die Grenzen werden viel einfacher, denk aber dran, daß du dein f mit einem zusätzlichen r multiplizieren mußt.
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Hmmm, du sagtest, dass [mm] y=\pm\wurzel{3z} [/mm] für x=0 ist. Dann ist ja [mm] x=\pm\wurzel{3z} [/mm] für y=0, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Braunstein |
Natürlich mein ich damit die Intervallsgrenzen!
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Ja, das schon, allerdings ist das so, als wenn du bei mir überall x und y vertauschst.
Ich kanns grade nicht mit Worten erklären, das müßte man mal zeichnen, damit du das verstehst, was da genau vor sich geht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Braunstein |
Hab's grad gekniffen.
Danke.
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