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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Finden Sie a,b [mm] \in \IR [/mm] , so dass a [mm] \le \left| f(x) \right| \le [/mm] b gilt für alle x [mm] \in [/mm] [-5,3] für folgende Funktionen:
1) f(x) = [mm] x^2
[/mm]
2) f(x) = [mm] x^3 [/mm] -7x +2 |
Hallo,
Hier sind meine Lösungen, bei denen ich mir aber noch unsicher bin.
1)
[mm] \left| f(x) \right| [/mm] = [mm] \left| x^2 \right| \ge \left| x^2 \right| [/mm] = [mm] \left| x^2 \right| \ge 0^2 [/mm] = 0 =: a
[mm] \left| f(x) \right| [/mm] = [mm] \left| x^2 \right| \le \left| x^2 \right| [/mm] = [mm] \left| x^2 \right| \le 5^2 [/mm] = 25 =: b
2)
[mm] \left| f(x) \right| [/mm] = [mm] \left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| \left| x^3 +2 \right| -\left| -7x \right| \right| [/mm] = [mm] \left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| x^3 +2 - 7 \left| x \right| \right| [/mm] = [mm] \left| x^3 -7x +2 \right| \ge 0^3+2-7*0 [/mm] = 2 =: a
[mm] \left| f(x) \right| [/mm] = [mm] \left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right| [/mm] + [mm] \left| -7x \right| [/mm] + [mm] \left| 2 \right| [/mm] = [mm] \left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|+7\left| x \right| [/mm] + 2 = [mm] \left| x^3 -7x +2 \right| \le 5^3+7*5+2 [/mm] = 162 =: b
Wäre das soweit richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Mo 05.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie a,b [mm]\in \IR[/mm] , so dass a [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm]
> b gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-5,3] für folgende Funktionen:
>
> 1) f(x) = [mm]x^2[/mm]
> 2) f(x) = [mm]x^3[/mm] -7x +2
>
> Hallo,
>
> Hier sind meine Lösungen, bei denen ich mir aber noch
> unsicher bin.
>
> 1)
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \ge \left| x^2 \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^2 \right| \ge 0^2[/mm] = 0 =: a
>
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \le \left| x^2 \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^2 \right| \le 5^2[/mm] = 25 =: b
>
>
> 2)
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| \left| x^3 +2 \right| -\left| -7x \right| \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| x^3 +2 - 7 \left| x \right| \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge 0^3+2-7*0[/mm] = 2 =: a
>
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|[/mm]
> + [mm]\left| -7x \right|[/mm] + [mm]\left| 2 \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|+7\left| x \right|[/mm]
> + 2 = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le 5^3+7*5+2[/mm] = 162 =: b
>
>
> Wäre das soweit richtig?
Hallo, ich verstehe den Sinn der Aufgabe nicht ganz.
Sollt ihr den Wertebereich im betrachteten Intervall einfach nur nach oben und unten beschränken?
Dann könnte man auch [mm] -10^{100} [/mm] und [mm] +10^{100} [/mm] angeben.
Mich persönlich würde das nicht befriedigen.
Bei 2) kann man die globalen Extrema im Intervall ausrechnen (lok. Extrema vs. Werte an den Intervallgrenzen)
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:54 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie a,b [mm]\in \IR[/mm] , so dass a [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm]
> b gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-5,3] für folgende Funktionen:
>
> 1) f(x) = [mm]x^2[/mm]
> 2) f(x) = [mm]x^3[/mm] -7x +2
>
> Hallo,
>
> Hier sind meine Lösungen, bei denen ich mir aber noch
> unsicher bin.
>
> 1)
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \ge \left| x^2 \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^2 \right| \ge 0^2[/mm] = 0 =: a
O.K.
>
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \le \left| x^2 \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^2 \right| \le 5^2[/mm] = 25 =: b
>
O.K.
>
> 2)
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| \left| x^3 +2 \right| -\left| -7x \right| \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| x^3 +2 - 7 \left| x \right| \right|[/mm]
> = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge 0^3+2-7*0[/mm] = 2 =: a
Das ist ja ein furchtbares Gewurschtel mit "=" ," [mm] \ge" [/mm] und Beträgen !!! Nimm doch einfach a=0.
>
> [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|[/mm]
> + [mm]\left| -7x \right|[/mm] + [mm]\left| 2 \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|+7\left| x \right|[/mm]
> + 2 = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le 5^3+7*5+2[/mm] = 162 =: b
s. o.
Einfacher: |f(x)| [mm] \le |x|^3+7|x|+2 \le [/mm] 125+35+2=162
FRED
>
>
> Wäre das soweit richtig?
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Jack159 |
Hallo fred97,
> > Finden Sie a,b [mm]\in \IR[/mm] , so dass a [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm]
> > b gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-5,3] für folgende Funktionen:
> >
> > 1) f(x) = [mm]x^2[/mm]
> > 2) f(x) = [mm]x^3[/mm] -7x +2
> >
> > Hallo,
> >
> > Hier sind meine Lösungen, bei denen ich mir aber noch
> > unsicher bin.
> >
> > 1)
> > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \ge \left| x^2 \right|[/mm]
> > = [mm]\left| x^2 \right| \ge 0^2[/mm] = 0 =: a
>
> O.K.
>
>
> >
> > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \le \left| x^2 \right|[/mm]
> > = [mm]\left| x^2 \right| \le 5^2[/mm] = 25 =: b
> >
>
> O.K.
Hab die Aufgabe meinem Prof. gezeigt. Er meinte, es wäre total Unsinnig
[mm] \left| x^2 \right| \le \left| x^2 \right [/mm]
aufzuschreiben und dass dies falsch wäre...
Für ihn ist schon eine Aufgabe falsch, wenn auch nur irgendwo oder irgendwas aufgeschrieben ist.
Ich wüsste aber nicht wie ich das sonst anders aufschreiben sollte. habt ihr da einen Tipp?
>
>
> >
> > 2)
> > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| \left| x^3 +2 \right| -\left| -7x \right| \right|[/mm]
> > = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| x^3 +2 - 7 \left| x \right| \right|[/mm]
> > = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge 0^3+2-7*0[/mm] = 2 =: a
>
> Das ist ja ein furchtbares Gewurschtel mit "=" ," [mm]\ge"[/mm] und
> Beträgen !!! Nimm doch einfach a=0.
>
Was genau meinst du mit a=0 nehmen ?
Wir bzw. der Prof. haben/hat es in der Vorlesung im Prinzip nach dem selben Muster gemacht, wie ich bei dieser Aufgabe hier.
>
> >
> > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|[/mm]
> > + [mm]\left| -7x \right|[/mm] + [mm]\left| 2 \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|+7\left| x \right|[/mm]
> > + 2 = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le 5^3+7*5+2[/mm] = 162 =: b
>
> s. o.
>
> Einfacher: |f(x)| [mm]\le |x|^3+7|x|+2 \le[/mm] 125+35+2=162
Solch ein Einzeiler wäre unserem Prof. zu wenig. Dafür würde es 0 Punkte geben. Er möchte alles ganz ausführlich haben.
>
> FRED
> >
> >
> > Wäre das soweit richtig?
> >
> >
>
@ abakus:
Dort sollen die Funktionen jeweils nach unten und oben "abgeschätzt" werden, mithilfe der Dreiecksungleichungen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> > > Finden Sie a,b [mm]\in \IR[/mm] , so dass a [mm]\le \left| f(x) \right| \le[/mm]
> > > b gilt für alle x [mm]\in[/mm] [-5,3] für folgende Funktionen:
> > >
> > > 1) f(x) = [mm]x^2[/mm]
> > > 2) f(x) = [mm]x^3[/mm] -7x +2
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > Hier sind meine Lösungen, bei denen ich mir aber noch
> > > unsicher bin.
> > >
> > > 1)
> > > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \ge \left| x^2 \right|[/mm]
> > > = [mm]\left| x^2 \right| \ge 0^2[/mm] = 0 =: a
> >
> > O.K.
> >
> >
> > >
> > > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^2 \right| \le \left| x^2 \right|[/mm]
> > > = [mm]\left| x^2 \right| \le 5^2[/mm] = 25 =: b
> > >
> >
> > O.K.
>
> Hab die Aufgabe meinem Prof. gezeigt. Er meinte, es wäre
> total Unsinnig
> [mm]\left| x^2 \right| \le \left| x^2 \right[/mm]
> aufzuschreiben und dass dies falsch wäre...
Das ist doch Unsinn. Es gilt sogar
[mm]\left| x^2 \right| = \left x^2 \right[/mm]
> Für ihn ist schon eine Aufgabe falsch, wenn auch nur
> irgendwo oder irgendwas aufgeschrieben ist.
> Ich wüsste aber nicht wie ich das sonst anders
> aufschreiben sollte. habt ihr da einen Tipp?
>
>
> >
> >
> > >
> > > 2)
> > > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| \left| x^3 +2 \right| -\left| -7x \right| \right|[/mm]
> > > = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge \left| x^3 +2 - 7 \left| x \right| \right|[/mm]
> > > = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \ge 0^3+2-7*0[/mm] = 2 =: a
> >
> > Das ist ja ein furchtbares Gewurschtel mit "=" ," [mm]\ge"[/mm] und
> > Beträgen !!! Nimm doch einfach a=0.
> >
>
> Was genau meinst du mit a=0 nehmen ?
Die Ungl. a [mm] \le [/mm] |f(x)| gilt doch für a =0 !!!
> Wir bzw. der Prof. haben/hat es in der Vorlesung im
> Prinzip nach dem selben Muster gemacht, wie ich bei dieser
> Aufgabe hier.
>
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> > >
> > > [mm]\left| f(x) \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|[/mm]
> > > + [mm]\left| -7x \right|[/mm] + [mm]\left| 2 \right|[/mm] = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le \left| x^3 \right|+7\left| x \right|[/mm]
> > > + 2 = [mm]\left| x^3 -7x +2 \right| \le 5^3+7*5+2[/mm] = 162 =: b
> >
> > s. o.
> >
> > Einfacher: |f(x)| [mm]\le |x|^3+7|x|+2 \le[/mm] 125+35+2=162
>
> Solch ein Einzeiler wäre unserem Prof. zu wenig.
Dieser Einzeiler ist die Dreiecksungl. . sonst nichts
> Dafür
> würde es 0 Punkte geben. Er möchte alles ganz
> ausführlich haben.
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> > FRED
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> > >
> > > Wäre das soweit richtig?
> > >
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> @ abakus:
> Dort sollen die Funktionen jeweils nach unten und oben
> "abgeschätzt" werden, mithilfe der Dreiecksungleichungen.
>
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