Dreiecksungl. von metr. Räumen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mi 20.04.2011 | | Autor: | xcrane |
| Aufgabe | Sei (X, d) ein metr. Raum. Wir definieren
X x X -> IR
/
d* :
\
(p,q) I-> min(1, d(p,q)) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo
Da der Formeleditor nicht wollte, musste ich die Aufgabenstellung leider so hinschreiben.
Man soll also beweisen, dass d* ein metrischer Raum ist.
Für die Axiome
(1) d(p,q) >= 0
(2) d(p,q) = d(q,p)
ist dies auch kein Problem.
Nun bin ich bei der Dreiecksungleichung
Ich habe die Dreiecksungleichung mit einer Fallunterscheidung gemacht.
d*: min(1, d(p,q)) <= d*: min(1,d(p,r) + d*: min (1,d(r,q))
für die jeweiligen Minima.
Jetzt kam dabei ab und an raus dass die linke Seite nicht kleiner oder gleich der rechten Seite sein kann
(z.B. min(1,d(p,q)) = 1, min(1, d(p,r)) = 1, min(1, d(r,q)) = d(r,q)
=> 1 !< 1 + d(r,q), da d(r,q) >= 0 und d(r,q) < 1 ist (sonst wäre es ja kein Minimum)
Nun die Frage:
Wenn ich für eine Dreiecksungleichung eine Fallunterscheidung durchführe, müssen dann alle Fälle wahr sein, damit die Dreiecksungleichung erfüllt ist und damit d* ein metrischer Raum ist oder genügt es, wenn ein Axiom der Dreiecksungleichung gilt?
Ich hoffe meine Frage/mein Problem ist klar geworden.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
die bedingung besagt [mm] d*(p,q)\le [/mm] d*(p,r)+d*(r,q) wenn also in einem Fall d*(p,q)< d*(p,r)+d*(r,q) gilt und im anderen Glecheit so ist dies kein Widerspruch zu Bedingung , sondern zeigt ja gerade das sie erfüllt ist.
Es gibt bestimmt p,q für die der erste Fall gilt und bestimmte für die der zweite gilt also gilt insgesamt [mm] \le.
[/mm]
So würde ich es zumindest erklären.
viele Grüße
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