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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 So 28.11.2010 | | Autor: | Hulpi |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
a) Eine untere Dreiecksmatrix ist invertierbar genau dann, wenn ihre Diagonalelemente verschieden von Null sind.
b) Die Inverse einer oberen und einer unteren invertierbaren Dreiecksmatrix ist wieder eine eine obere bzw. untere Dreiecksmatrix
c) Die Menge aller unteren (oberen) Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Siagonalen bilden bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe. |
Hallo,
ich hänge bei den Aufgaben a) und b), würde aber gerne meine Lösungsidee für c) auch aufschreiben um zu fragen, ob sie richtig ist.
Meine Überlegungen:
a) Annahme: Mindestens eine Stelle auf der Hauptdiagonalen von A [mm] \in R^{nxn} [/mm] sei gleich Null.
Wenn wir wir die Matrix $ A [mm] \in R^{nxn} [/mm] $ invertieren wollen, müssen wir eine eine Matrix $ [mm] A^{-1}\in R^{nxn} [/mm] $ finden, sodass $ [mm] A*A^{-1}=I [/mm] $ergibt. Das ist hier aber nicht möglich, da $0*1=0$ und wir somit $ I $, welche 1ser auf Diagonalen hat nicht erzeugen können.
Reicht das zum zeigen?
b) Das ergibt sich ja quasi aus a). Wenn wir davon ausgehen, dass unsere untere bzw. obere Dreiecksmatrix Elemente verschieden von 0 auf der Diagonalen hat und alle Elemente darunter bzw. darüber 0 sind so muss eine andere, inverse Matrix gleichgestaltig sein. Vielleicht lann man mit dem Gaußalgorithmus argumentieren.
Bin leider absolut überfragt wie man das hier richtig zeigt.
c) Dafür muss man lediglich die drei Eigenschaften einer Gruppe verifiezieren.
Diese Sind:
Assoziativität: Trifft hier zu, da es sich bei Dreiecksmatrizen um Matrizen handelt und die Assoziativität für Matrixmultiplikation bereits in der Vorlesung gezeigt wurde.
Existenz eines neutralen Elements: Die Einheitsmatrix stellt das neutrale Element der Matrixmultiplikation und daher auch für Dreiecksmatrizen dar.
Existenz eines inversen Elements: Sofern die Matrix, wie vorrausgesetzt Einsen auf der Diagonalen hat, kann man eine Inverse finden.
Naja ihr seht, das sieht noch nicht so flüssig aus, würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könnt.
Habt ihr eigentlich ein Rezept wie man an sowas sinnvoll rangeht, also z.B. mit einem Beispiel starten und dann allgmeiner werden, oder muss man das einfach wissen :S.
Viele Grüße,
Hulpi
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> Zeigen Sie:
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> a) Eine untere Dreiecksmatrix ist invertierbar genau dann,
> wenn ihre Diagonalelemente verschieden von Null sind.
>
> b) Die Inverse einer oberen und einer unteren
> invertierbaren Dreiecksmatrix ist wieder eine eine obere
> bzw. untere Dreiecksmatrix
>
> c) Die Menge aller unteren (oberen) Dreiecksmatrizen mit
> Einsen auf der Siagonalen bilden bezüglich der
> Matrixmultiplikation eine Gruppe.
> Hallo,
>
> ich hänge bei den Aufgaben a) und b), würde aber gerne
> meine Lösungsidee für c) auch aufschreiben um zu fragen,
> ob sie richtig ist.
>
> Meine Überlegungen:
> a) Annahme: Mindestens eine Stelle auf der Hauptdiagonalen
> von A [mm]\in R^{nxn}[/mm] sei gleich Null.
Eine andere Idee. Was steht bei Dreiecksmatrizen auf der Hauptdiagonale?
>
> Wenn wir wir die Matrix [mm]A \in R^{nxn}[/mm] invertieren wollen,
> müssen wir eine eine Matrix [mm]A^{-1}\in R^{nxn}[/mm] finden,
> sodass [mm]A*A^{-1}=I [/mm]ergibt. Das ist hier aber nicht möglich,
> da [mm]0*1=0[/mm] und wir somit [mm]I [/mm], welche 1ser auf Diagonalen hat
> nicht erzeugen können.
> Reicht das zum zeigen?
Du meinst z.B.: [mm]\pmat{ 0 & 0 \\
1 & 1 } *\pmat{ a & b \\
c & d } \neq \pmat{1 & 0 \\
0 & 1 } [/mm] für alle a,b,c,d
Ja die Idee ist richtig. Man kann es auch andere begründen.
>
> b) Das ergibt sich ja quasi aus a). Wenn wir davon
> ausgehen, dass unsere untere bzw. obere Dreiecksmatrix
> Elemente verschieden von 0 auf der Diagonalen hat und alle
> Elemente darunter bzw. darüber 0 sind so muss eine andere,
> inverse Matrix gleichgestaltig sein. Vielleicht lann man
> mit dem Gaußalgorithmus argumentieren.
> Bin leider absolut überfragt wie man das hier richtig
> zeigt.
Sei D eine obere Dreiecksmatrix und C eine Matrix mit CD=DC=E.
Jetzt kannst du Matrixmultiplikation so aufschreiben:[mm]e_{ij}=\sum_{k=1}^n d_{ik}*c_{kj}[/mm]Außerdem gilt ja [mm]d_{ij}=0;\forall i
>
> c) Dafür muss man lediglich die drei Eigenschaften einer
> Gruppe verifiezieren.
> Diese Sind:
> Assoziativität: Trifft hier zu, da es sich bei
> Dreiecksmatrizen um Matrizen handelt und die
> Assoziativität für Matrixmultiplikation bereits in der
> Vorlesung gezeigt wurde.
> Existenz eines neutralen Elements: Die Einheitsmatrix
> stellt das neutrale Element der Matrixmultiplikation und
> daher auch für Dreiecksmatrizen dar.
+ Einheitsmatrix ist auch (untere) obere Dreiecksmatrix. Ich weiß nicht wie pingelig dein Korrektor ist.
> Existenz eines inversen Elements: Sofern die Matrix, wie
> vorrausgesetzt Einsen auf der Diagonalen hat, kann man eine
> Inverse finden.
Das sieht gut aus. Musst halt nur noch hinschreiben, dass auch die Inverse existiert und ebenfalls eine (untere) obere Dreiecksmatrix ist.
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> Naja ihr seht, das sieht noch nicht so flüssig aus, würde
> mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könnt.
>
> Habt ihr eigentlich ein Rezept wie man an sowas sinnvoll
> rangeht, also z.B. mit einem Beispiel starten und dann
> allgmeiner werden, oder muss man das einfach wissen :S.
Schreib dir eine 2x2 Matrix mit Zahlen hin und probiere aus. Ausprobieren ist das was einem sehr helfen kann. Hinterher kann man dann allgemein es versuchen zu zeigen.
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> Viele Grüße,
>
> Hulpi
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