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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 So 23.04.2006 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | Es sei a die Hypotenuse, b,c die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Beweise, dass [mm] $a^{n}>b^{n}+c^{n}, [/mm] n [mm] \in \IN_{\geq 3}$ [/mm] |
Hätte jemand eine Idee bzw. einen Ansatz, wie man das beweisen könnte.
Habs mit diversen Methoden ausprobiert, bin aber kläglich gescheitert.
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Hallo!
Man könnte sich doch folgende Funktion definieren: [mm] $f(n)=b^n+c^n-a^n$
[/mm]
Für $n=1$ erhält man die Dreiecksungleichung (also $f(1)>0$), für $n=2$ weiß man, dass $f(2)=0$ gilt (Satz des Pythagoras). Wenn man nun noch nachweisen kann, dass die Funktion streng monoton ist, wäre doch schon alles gezeigt, oder?
Soviel zu meinen Ideen...
Schönen Tag noch,
Roland.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 23.04.2006 | | Autor: | dazivo |
Hallo!
Welche Bedignung muss dann erfüllt sein? Was ist das eigentlich für eine Folge? Ich kann nur die Monotonie von arithmetischen und geometrischen Folgen bestimmen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Di 25.04.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
Bei dir ist a die Hypotenuse, b und c sind die Katheten. Dann ist a die längste Seite und b und c kann ich der Größe nach sortieren und ggfs. umbenennen, so daß a > b [mm] \ge [/mm] c > 0 gilt.
Wegen Pythagoras [mm] a^{2} [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} [/mm] gilt dann für n = 3 bereits
[mm] a^{3} [/mm] = [mm] a*a^{2} [/mm] = [mm] a*b^{2} [/mm] + [mm] a*c^{2} [/mm] > [mm] b*b^{2} [/mm] + [mm] b*c^{2} [/mm] = [mm] b^{3} [/mm] + [mm] b*c^{2} \ge b^{3} [/mm] + [mm] c*c^{2} [/mm] = [mm] b^{3} [/mm] + [mm] c^{3}.
[/mm]
Das kann ich jetzt als Induktionsanfang nehmen und dann den Induktionsschluß genauso aufbauen. Fertich!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 30.04.2006 | | Autor: | dazivo |
Wow!! Danke vielmals, wunderschöner Beweis!
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