Dreieck, Coulomb-Kraft < Elektrik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Sa 21.03.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | An jedem Eckpunkt eines gleichseitigen Dreiecks (Seitenlänge r) befindet sich die negative Ladung [mm] Q_0 [/mm] = -17,3 nAs. Eine Ladung [mm] Q_M [/mm] > 0 ist im Dreiecksschwerpunkt vorhanden.
Welche Größe muss [mm] Q_M [/mm] haben, damit die Kraft auf jede der drei negativen Ladungen Null ist (allgemein und Zahlenwert)? |
Hallo Zusammen,
die Kraft zwischen zwei Ladungen wird vom Coulombschen Gesetz:
F = K [mm] \bruch{Q_1 \dot{} Q_2}{r²}
[/mm]
beschrieben. Die negativen Ladungen an den drei Eckpunkten stoßen sich ab, jedoch wirkt die Ladung in der Mitte wie ein Bindeglied zwischen den drei negativen Ladungen, dass somit die drei Kräfte jeweils Null ergeben.
Für den Abstand r² habe ich folgendes allgemein berechnet r = [mm] \wurzel{(1/2 r)² + (1/3 h)²}, [/mm] für h gilt: h = [mm] \wurzel{r² - (1/2 r)²}, [/mm] den Wert für eingesetzt und dann aufgelöst bringt r = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}r
[/mm]
Nun muss ich noch irgendwie, die Kräfte in Beziehung zueinander setzen, damit die Resultierende Null ergibt. Ich habe ein Dreieck mit drei Vektoren a, b und c gezeichnet und für die Seiten des Dreieicks erhalte ich dann
-a + b
-a + c
-c + b
[Dateianhang nicht öffentlich]
Diese müssen jeweils vom Betrag her, gleich groß sein
-a + b = -a + c = -c + b
Nur bringt mich das nicht weiter. Wie wäre denn der Ansatz, um den Betrag der Ladung in der Mitte zu bestimmen?
Gruß
itse
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Ich würde die Aufgabe etwas anders angehen, und zwar rein vektoriell.
Stell das Dreieck in ein Koordinatensystem mit der mittleren Ladung im Ursprung.
Die obere Ladung ist dann an der Position [mm] d*\vektor{0\\1}, [/mm] die linke untere an der Position [mm] d*\vektor{-\sin(120°)\\ \cos(120°)}=\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}} [/mm] und die rechte entsprechend. (gemessen von der y-Achse. Etwas unkonventionell, aber OK.)
Jetzt hast du den Differenzvektor zwischen der linken unteren und der oberen Ladung zu
[mm] d*\vektor{0\\1}-d*\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}}
[/mm]
die obere Kugel wird also nach rechts oben gedrückt. Der Betrag dieses Vektors gibt dir den Abstand und somit auch die Kraft auf die Kugel. Bedenke dann, daß die seitliche Komponenten durch die dritte Kugel kompensiert wird, während die vertikale Komponente sich verdoppelt. (Die Rechnung für die 3. Kugel kannst du dir sparen, da gibts nur ein anderes Vorzeichen in x-Richtung)
Naja, und für die mittlere Ladung betrachtest du ja jeweils nur diese und nur eine der drei anderen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 21.03.2009 | | Autor: | itse |
> Hallo!
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> Ich würde die Aufgabe etwas anders angehen, und zwar rein
> vektoriell.
>
> Stell das Dreieck in ein Koordinatensystem mit der
> mittleren Ladung im Ursprung.
>
> Die obere Ladung ist dann an der Position [mm]d*\vektor{0\\1},[/mm]
> die linke untere an der Position [mm]d*\vektor{-\sin(120°)\\ \cos(120°)}=\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}}[/mm]
> und die rechte entsprechend. (gemessen von der y-Achse.
> Etwas unkonventionell, aber OK.)
Wie kommst du denn auf die Koordinaten? Der obere Punkt kann ja auch bei (0,2) liegen, soll das d ein Element aus IR sein? Also wie Lambda, eine Laufvariable. Des Weiteren wie kommt man den auf die Winkel von -sin(120°) und cos(120°)?
> Jetzt hast du den Differenzvektor zwischen der linken
> unteren und der oberen Ladung zu
>
> [mm]d*\vektor{0\\1}-d*\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{1}{2}}[/mm]
= d * [mm] \vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{3}{2}}
[/mm]
oder?
> die obere Kugel wird also nach rechts oben gedrückt.
Woran erkkenne ich das?
> Der Betrag dieses Vektors gibt dir den Abstand und somit auch
> die Kraft auf die Kugel.
[mm] |\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{3}{2}}| [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Stimmt das so?
> Bedenke dann, daß die seitliche
> Komponenten durch die dritte Kugel kompensiert wird,
> während die vertikale Komponente sich verdoppelt. (Die
> Rechnung für die 3. Kugel kannst du dir sparen, da gibts
> nur ein anderes Vorzeichen in x-Richtung)
Die drei negativen Ladungen in den Eckpunkten stoßen sich ab, jeweils mit dem Betrag [mm] \wurzel{3}? [/mm] Dies ist also die Kraft, die zwischen den Ladungen wirken, nun muss ich die mittlere Ladung berechnen. Nur wie mache ich das?
Ich verstehe die Herangehensweise nicht so richtig, den die negativen Kugeln stoßen sich ab und nun müsste ich doch eine Ladung in der Mitte berechnen, damit alles im Gleichgewicht liegt?
Gruß itse
> Naja, und für die mittlere Ladung betrachtest du ja jeweils
> nur diese und nur eine der drei anderen.
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Hallo!
> Wie kommst du denn auf die Koordinaten? Der obere Punkt
> kann ja auch bei (0,2) liegen, soll das d ein Element aus
> IR sein? Also wie Lambda, eine Laufvariable. Des Weiteren
> wie kommt man den auf die Winkel von -sin(120°) und
> cos(120°)?
Richtig, das d ist eine Variable, die den Abstand der Ladungen vom Ursprung angibt. Die Winkel? naja, ein Vollkreis hat 360°, und der wird durch die drei Linien in deiner Zeichnung in drei gleiche Teile á 120° geteilt. Dann sind das spezielle Winkel, für die SIN und COS bestimmte Werte annehmen, die ich da weiter verwende.
> > die obere Kugel wird also nach rechts oben gedrückt.
>
> Woran erkkenne ich das?
Nun, eigentlich sollte das auch so schon logisch sein. Der Vektor gibt dir jetzt nur die exakte Richtung in vektorieller Form an. Letztendlich kannst du auch ganz präzise drüber nachdenken, daß dieser Differenzvektor den Abstand angibt, der auch in der Kraftgleichung auftreten kann: [mm] \vec{F}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{|\vec{r}|^2}*\frac{\vec{r}}{{|\vec{r}|}} [/mm] Wenn du den Vektor "richtig rum" berechnet hast und auch die Vorzeichen der Ladungen richtig einsetzt, sollte genau das rauskommen, daß die Ladung eben in die genannte Richtung gedrückt wird. Ich bevorzuge hier allerdings, das Vorzeichen so zu wählen, daß es paßt...
>
> > Der Betrag dieses Vektors gibt dir den Abstand und somit
> auch
> > die Kraft auf die Kugel.
>
> [mm]|\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{3}{2}}|[/mm] = [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja. Der Abstand der Ladungen beträgt damit [mm] d*\wurzel{3}. [/mm] Das kannst du in die Kraftformel einsetzen.
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> > Bedenke dann, daß die seitliche
> > Komponenten durch die dritte Kugel kompensiert wird,
> > während die vertikale Komponente sich verdoppelt. (Die
> > Rechnung für die 3. Kugel kannst du dir sparen, da gibts
> > nur ein anderes Vorzeichen in x-Richtung)
>
> Die drei negativen Ladungen in den Eckpunkten stoßen sich
> ab, jeweils mit dem Betrag [mm]\wurzel{3}?[/mm] Dies ist also die
> Kraft, die zwischen den Ladungen wirken, nun muss ich die
> mittlere Ladung berechnen. Nur wie mache ich das?
Stop! Die obere Kugel bekommt eine Kraft von der linken in Richtung [mm] \vektor{\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{3}{2}}, [/mm] schreiben wir das besser normiert hin: [mm] \vec{F_l}=F_0*\underbrace{\frac{1}{\sqrt{3}}\vektor{\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{3}{2}}}
[/mm]
Das [mm] F_0 [/mm] ist die Kraft zwischen den Ladungen mit Abstand [mm] d*\wurzel{3} [/mm] . Und der rechte Teil gibt dir ausschließlich die Richtung an, der Betrag des ganzen rechten Teils ist =1.
Bedenke nun, daß du auch noch von der rechten Kugel eine Kraft auf die obere Kugel bekommst:
[mm] \vec{F_r}=F_0*\frac{1}{\sqrt{3}}\vektor{-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{3}{2}}
[/mm]
Beide Kräfte überlagern sich:
[mm] \vec{F_l}+\vec{F_r}=F_0*\frac{1}{\sqrt{3}}\vektor{0\\ 3}
[/mm]
Das heißt doch, daß die obere Kugel ausschließlich eine vertikale Kraft abbekommt, die senkrecht nach oben mit der Stärke [mm] F_0*\sqrt{3} [/mm] wirkt! Genau diese Kraft muß durch die Ladung im Zentrum (also im Abstand d) kompensiert werden, und das erlaubt dir, diese Ladung zu berechnen. Das ist alles.
>
> Ich verstehe die Herangehensweise nicht so richtig, den die
> negativen Kugeln stoßen sich ab und nun müsste ich doch
> eine Ladung in der Mitte berechnen, damit alles im
> Gleichgewicht liegt?
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> Gruß itse
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> > Naja, und für die mittlere Ladung betrachtest du ja jeweils
> > nur diese und nur eine der drei anderen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:05 So 22.03.2009 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
somit weiß ich nun, dass die obere Ladung, dadurch die zwei unten angeordneten Ladungen vertikal nach oben gedrückt wird, mit der Kraft = [mm] \wurzel{3}. [/mm] Wenn ich den Abstand der oberen Ladung zu er in der Mitte über Pythagoras berechne erhalte ich r=1/3r².
Wenn ich das Ganze nun in die Formel: F = K [mm] \bruch{Q1 \cdot{} Q2}{r²} [/mm] einsetzen will, )sieht es hoffentlich so aus:
[mm] \wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{-17,3nAs \cdot{} Q2}{4\pi e_0 \cdot{} \bruch{1}{3}(\wurzel{3}²)}
[/mm]
Nur bekomme ich so nicht, die in der Lösung stehenden 10nC.
Wo habe ich denn wieder einen Fehler gemacht
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Hallo!
> Guten Morgen,
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> somit weiß ich nun, dass die obere Ladung, dadurch die zwei
> unten angeordneten Ladungen vertikal nach oben gedrückt
> wird, mit der Kraft = [mm]\wurzel{3}.[/mm]
Ja vorsicht, die Kraft ist nicht [mm] \wurzel{3} [/mm] . Der Abstand ist [mm] d*\wurzel{3} [/mm] , und damit ist der Betrag der Kraft [mm] F_0=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q^2}{3d^2} [/mm] Da jetzt die insgesamt nach oben wirkende Kraft [mm] \wurzel{3}*F_0 [/mm] ist, hast du letztendlich als Kraft auf die obere Kugel:
[mm] F=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q^2}{3d^2}*\wurzel{3}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q^2}{\wurzel{3}d^2}
[/mm]
> Wenn ich den Abstand der
> oberen Ladung zu er in der Mitte über Pythagoras berechne
> erhalte ich r=1/3r².
Nun, diese Gleichung gilt nur, wenn r=0 ist...
Wenn die mittlere und obere Ladung auf der y-Achse liegt, benötigst du keinen Pythagoras. Der Abstand ist ja einfach per Definition d.
Und damit muß gelten:
[mm] \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q^2}{\wurzel{3}d^2}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{Q*Q_M}{d^2}
[/mm]
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