Drei ideale Würfel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es werden drei ideale Würfel geworfen. Es gibt 6 Kombinationen die die Summe 11 ergeben, sowie 6 Kombinationen die die Summe 12 ergeben.
Zeigen Sie, dass in einem Zufallsexperiment die 11 trotzdem häufiger auftritt als die 12. |
So Hallo erstmal.
Ich häng an der Aufgabe fest.
Theoretisch bin ich dem Rätsel schon auf der Spur. Ich habe mir mal die möglichen Kombinationen rausgeschrieben:
11:
641 542
632 533
551 443
12:
651 642
633 552
543 444
Das Problem liegt also bei der 444, welche wesentlich unwarscheinlicher ist, als eine Kombination mit 2 gleichen und einer dritten (443)
Ich habe als erstes ausgerechnet, wieviele Kombinationen es insgesamt gibt.
Bin auf 56 gekommen.
Anschließend wollte ich ausrechnen, wie warscheinlich es ist, dass die einzelnen Fälle auftreten.
Da es 56 Kombinationen gibt, und 6 mal einen Drilling ist die Warscheinlichkeit eines Drillings also bei 10,7%.
Laut meinen Berechnungen gibt es 20 Kombinationen, bei denen keine doppelten oder dreifachen auftreten --> Warscheinlichkeit von 35,7%.
Da es nur drei Möglichkeiten gibt (keine Doppelten, ein Doppel, Drilling) kann ich jetzt die Anzahl der Gemischten und Dreifachen zusammenzählen und von 56 abziehen, damit bekomm ich die Anzahl der Doppelten.
56-20-6 = 30 --> Warscheinlichkeit von 53,6% (O.O Kann das sein?)
So also zu den Warscheinlichkeiten:
11 erreiche ich mit 3 Einfachen (--> 15% aller Einfachen) und 3 Doppelten (10% aller Doppelten)
Also erhalte ich die 11 mit einer Warscheinlichkeit von
0,1*0,536 + 0,15*0,357 = 10,72% (O.O so oft?)
12 erreiche ich mit 3 Einfache (15% aller Einfachen), 2 Doppelten (6,7% aller Doppelten) und einem Drilling (16,7% aller Drillinge)
Also erhalte ich eine Warscheinlichkeit von
0.15*0.357+0.067*0.536+0.167*0.107=10,73%
Aber des geht doch ned :D ich soll doch genau das Gegenteil beweisen:
Das 12 (10,73%) eine geringere Warscheinlichkeit hat, als 11 (10,72)%
Wo hab ich mich den verrechnet? Oder is der ganze Ansatz Mist? Bin ned gut in Stochastik.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Fr 21.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo raycluster,
also ich zähle 27 Möglichkeiten unter Berücksichtigung der Reihenfolge für die 11 und 25 entsprechend für die 12. Damit ist dann klar, warum die 12 tatsächlich unwahrscheinlicher ist als die 11.
Deine Aufzählung ist korrekt, ich gebe zu jeder noch die Anzahl der Permutationen an. Durch Addition siehst du wie ich auf die 27 und die 25 komme.
> 11:
> 641 (6 Perm) 542 (6 Perm)
> 632 (6 Perm) 533 (3 Perm)
> 551 (3 Perm) 443 (3 Perm)
>
> 12:
> 651 (6 Perm) 642 (6 Perm)
> 633 (3 Perm) 552 (3 Perm)
> 543 (6 Perm) 444 (1 Perm)
Gruß, koepper
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Jop, da hast du Recht :) Aber trotzdem stimmt meine Rechnung leider ned, habne kleine Simulation geschrieben, und da komm ich auf 12,7% für die 11 und 11,5% für die zwölf (ungefähr natürlich nur)
Wo hab ich mich also verrechnet? Oder muss ich komplett anders rechnen.
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Hallo,
die Rechnung kann ja nicht stimmen nach dem, was koepper geschrieben hat.
Wir haben 216 mögliche Ausgänge (Variationen, nicht Kombinationen) und eben wurde ja aufgezählt, welche und wieviele davon eine 11 bzw. 12 ergeben.
Damit decken sich die Ergebnisse mit deinen Simulationsergebnissen: [mm]p(Summe=11) = 12,5\%[/mm] und [mm]p(Summe=12) = 11\bruch{4}{7}\%[/mm].
Gruß
Martin
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Okay verstanden :) Aber wo liegt dann der Denkfehler bei mir? Ich habe mir halt gedacht die Reihenfolge der Würfel wäre egal.
Auf was muss ich aufpassen, damit ichs das nächstes mal nicht mehr falsch mache? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Blech |
Ich habe als erstes ausgerechnet, wieviele Kombinationen es insgesamt gibt.
Bin auf 56 gekommen.
Richtig.
Anschließend wollte ich ausrechnen, wie warscheinlich es ist, dass die einzelnen Fälle auftreten.
Da es 56 Kombinationen gibt, und 6 mal einen Drilling ist die Warscheinlichkeit eines Drillings also bei 10,7%.
Es gibt 6 Drillinge.
Laut meinen Berechnungen gibt es 20 Kombinationen, bei denen keine doppelten oder dreifachen auftreten --> Warscheinlichkeit von 35,7%.
Es gibt 20.
Da es nur drei Möglichkeiten gibt (keine Doppelten, ein Doppel, Drilling) kann ich jetzt die Anzahl der Gemischten und Dreifachen zusammenzählen und von 56 abziehen, damit bekomm ich die Anzahl der Doppelten.
56-20-6 = 30 --> Warscheinlichkeit von 53,6% (O.O Kann das sein?)
Und es gibt 30.
Aber: Die relative Anzahl [mm] $\neq$ [/mm] Wahrscheinlichkeit. Denn die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Kombinationen sind nicht gleich. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, daß Du 3 gleiche Zahlen kriegst [mm]\underbrace{\left(\frac{1}{6}\right)^3}_{P von einem best. Drilling}\cdot \underbrace{6}_{Anzahl verschiedener Drillinge}[/mm]
(bzw. Du wirfst den 1. Würfel und er zeigt irgendeine zufällige Zahl, damit Du einen Drilling kriegst müssen die beiden anderen Würfel nun die gleiche Zahl zeigen [mm]\Rightarrow \left(\frac{1}{6}\right)^2[/mm])
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