Drei Vektoren mit 2 Unbekannte < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 03.10.2007 | | Autor: | sofkan |
| Aufgabe | Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren mit 2 Unbekannten
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Hallo, ich soll folgende Aufagbe lösen:
a1=(1, x, 3)T
a2=(0, -2, 2)T
a3=(-1, y, 2)T
Das Ganze habe ich dann als Matrize so aufgebaut:
1 0 -1 = 0
x -2 y = 0
3 2 2 = 0
Als Lösung bekomme ich dann nach umstellen
1 0 -1 = 0
0 2 5 = 0
x 0 5y = 0
5y = -x
Jetzt komme ich nicht weiter. Oder ist der Ansatz schon falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren mit 2 Unbekannten
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> Hallo, ich soll folgende Aufagbe lösen:
>
> a1=(1, x, 3)T
> a2=(0, -2, 2)T
> a3=(-1, y, 2)T
>
> Das Ganze habe ich dann als Matrize so aufgebaut:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das Ding heißt übrigens "Matrix".
>
> 1 0 -1 = 0
> x -2 y = 0
> 3 2 2 = 0
Der Anfang ist gut.
Du hast die Vektoren als Spalten in eine matrix gesteckt.
Der Rang dieser Matrix ist nun zu bestimmen.
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> Als Lösung bekomme ich dann nach umstellen
>
> 1 0 -1 = 0
> 0 2 5 = 0
> x 0 5y = 0
Dabei scheint etwas schiefgegangen zu sein, jedenfalls weiß ich nicht, wo Deine letzte Zeile herkommt.
Man arbeitet hier ja mit Zeilenumformungen, vielleicht solltest Du Deine Zwischenschritte vorstellen.
Mal angenommen, Deine letzte Zeile würde stimmen, was nicht der Fall ist.
Du könntest dann weiter umformen zu
1 0 -1 = 0
0 2 5 = 0
0 0 -x-5y = 0 (x*1.Zeile- 3.Zeile)
Nun müßtest Du schauen, unter welchen Bedingungen Du eine Nullzeile bekommst. Unter dieser Bedingung wären die gegebenen Vektoren linear abhängig. Ergebnis: für -x=5y, wie Du ausgerechnet hattest, aber wie gesagt: es gibt bei den Umformungen einen Fehler.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 04.10.2007 | | Autor: | sofkan |
Hallo,
also ich habe das so gerechnet
1 0 -1 = 0
x -2 y = 0 |tauschen mit Zeile III
3 2 2 = 0 |-3x Zeile I
1 0 -1 = 0
0 2 5 = 0
x -2 y = 0 |+1x Zeile II
1 0 -1 = 0
0 2 5 = 0
x 0 5y = 0
So, und hier steh ich nun und komme nicht weiter
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> Hallo,
> also ich habe das so gerechnet
>
> 1 0 -1 = 0
> x -2 y = 0 |tauschen mit Zeile III
> 3 2 2 = 0 |-3x Zeile I
>
> 1 0 -1 = 0
> 0 2 5 = 0
> x -2 y = 0 |+1x Zeile II
>
> 1 0 -1 = 0
> 0 2 5 = 0
> x 0 5y = 0
>
> So, und hier steh ich nun und komme nicht weiter
Hallo,
Du ADDIERST dich die 2.Zeile zur dritten.
Das ergibt x+0 -2+2 y+5 = 0,
also x 0 y+5 = 0.
Diese 5y bei Dir ist verkehrt.
Abgesehen davon ist der Schritt aber nicht so geschickt.
Besser, wenn Du systematisch zuerst in der 1. Spalte Nullen machst
Also
> 1 0 -1 = 0
> 0 2 5 = 0
> x -2 y = 0 |- xmal Zeile1
1 0 -1 = 0
0 2 5 = 0
0 -2 y+x=0
Nun kannst Du erreichen, daß Du in der dritten Zeile zwei führende Nullen bekommst.
Addiere dazu die 2.zur 3. Zeile.
Wenn Du das dann hast, überlegst Du Dir die Bedingungen an x und y, daß die letzte Zeile eine Nullzeile wird.
In diesem Fall nämlich sind die Startvektoren linear abhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Fr 05.10.2007 | | Autor: | sofkan |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Das mit 5y und y+5 ist mir jetzt klar.
Aber ich verstehe immer noch nicht ganz wie du die 3. Zeile auflöst und dann
0 -2 y+x=0
raukrigst. Kannst du das schrittweise auflösen für so Dummis wie mich?
Bei -x sollte dann doch die 3. Zeile so aussehen
1 0 -1 = 0
0 2 5 = 0
0 -2 y = -x | mal Zeile I
1 0 -1 = 0
0 2 5 = 0
1x0 -2x0 -1*y = -x*0 |
Vielleicht sollte ich nochmal in die Grundschule vorsprechen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo,
> danke für die schnelle Antwort.
> Das mit 5y und y+5 ist mir jetzt klar.
>
> Aber ich verstehe immer noch nicht ganz wie du die 3. Zeile
> auflöst und dann
> 0 -2 y+x=0
> raukrigst. Kannst du das schrittweise auflösen für so
> Dummis wie mich?
>
> Bei -x sollte dann doch die 3. Zeile so aussehen
|- x mal Zeile 1
Du kannst hier doch nicht einfach auf beiden Seiten x abziehen.
Es ist ja:
[mm] $1t_1 [/mm] + [mm] 0t_2 [/mm] + [mm] (-1)t_3 [/mm] = 0 $
etc., nicht
1+0-1=0
Dementsprechend funktioniert Deine Gleichungsumformung nicht.
Vielleicht solltest Du die ganzen Gleichheitszeichen am besten nicht schreiben.
1 0 -1 | 0
0 2 5 | 0
x -2 y | 0
bzw.
[mm] $\left(\begin{array}{rrr|r}
1&0&-1&0\\
0&2&5&0\\
x&-2&y&0
\end{array}\right)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Fr 05.10.2007 | | Autor: | sofkan |
Hallo zusammen,
das bringt mich aber meinem Problem und Lösungsverständnis nicht wirklich weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Fr 05.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo zusammen,
>
> das bringt mich aber meinem Problem und Lösungsverständnis
> nicht wirklich weiter.
Was ist denn x mal die erste Zeile?
Und was passiert, wenn Du das dann von der letzten abziehst?
Wo genau ist denn Dein Problem? Was erlaubt ist und was nicht? In dem Fall mach das ganze doch mal mit den urspr. Gleichungen anstatt mit der Koeffizientenmatrix.
[mm] $\begin{array}{rrrcr}
1*t_1&+0*t_2&-1*t_3&=&0\\
0*t_1&+2*t_2&+5*t_3&=&0\\
x*t_1&-2*t_2&+y*t_3&=&0
\end{array}$ [/mm]
Jetzt multipliziere die erste Gleichung mit x und zieh dann die linke Seite der Gleichung von der linken Seite der 3. ab und die rechte Seite der Gleichung (hier 0) von der rechten Seite der 3. Gleichung ab (also immer noch 0)
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