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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Lucy234 |
| Aufgabe | | Wenn man [mm]R^{2} = C [/mm] identifiziert, dann kann man Ursprungsgeraden mit Hilfe komplexer Zahlen vom Betrag 1 beschreiben. Berechnen Sie nun den Drehwinkel der Drehung, die sich ergibt, wenn man zwei Geradenspiegelungen hintereinander ausführt, in Abhängigkeit dieser komplexen Zahlen. |
Hallo zusammen,
ich habe keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll.. Kann mir jemand helfen?
LG Lucy
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> Wenn man [mm]R^{2} = C[/mm] identifiziert, dann kann man
> Ursprungsgeraden mit Hilfe komplexer Zahlen vom Betrag 1
> beschreiben.
Diese Zahlen sollen bestimmt die Richtungen
der beiden Geraden angeben.
> Berechnen Sie nun den Drehwinkel der Drehung,
> die sich ergibt, wenn man zwei Geradenspiegelungen
> hintereinander ausführt, in Abhängigkeit dieser komplexen
> Zahlen.
> Hallo zusammen,
> ich habe keine Ahnung, wie ich hier anfangen soll.. Kann
> mir jemand helfen?
> LG Lucy
Hallo Lucy,
mach dir eine Zeichnung mit den beiden
Geraden a und b. Der Richtungswinkel
von a sei [mm] \alpha, [/mm] der von b sei [mm] \beta.
[/mm]
Die zugehörigen Einheitsvektoren kann
man dann leicht darstellen.
Nun wählst du noch irgendwo einen
Punkt für eine Zahl [mm] z_0, [/mm] welche an a
gespiegelt den Punkt [mm] z_1 [/mm] ergibt. Spiege-
lung von [mm] z_1 [/mm] an b ergibt schliesslich den
Punkt [mm] z_2. [/mm]
Nun habe der Punkt [mm] z_i [/mm] den Polarwinkel [mm] \varphi_i
[/mm]
(i=0,1,2). Ferner sei [mm] |z_0|=r.
[/mm]
Man kann nun die Beträge und die Polar-
winkel von [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] mittels [mm] r\,,\varphi_0\,, \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm]
ausdrücken.
Der gesuchte Drehwinkel [mm] \Phi [/mm] ist dann
[mm] $\Phi\ [/mm] =\ [mm] \varphi_2-\varphi_0$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Danke schon mal für deine Hilfe.
> Hallo Lucy,
>
> mach dir eine Zeichnung mit den beiden
> Geraden a und b. Der Richtungswinkel
> von a sei [mm]\alpha,[/mm] der von b sei [mm]\beta.[/mm]
> Die zugehörigen Einheitsvektoren kann
> man dann leicht darstellen.
Ist dann a=cos[mm]\alpha[/mm] und b=cos[mm]\beta[/mm]?
>
> Nun wählst du noch irgendwo einen
> Punkt für eine Zahl [mm]z_0,[/mm] welche an a
> gespiegelt den Punkt [mm]z_1[/mm] ergibt. Spiege-
> lung von [mm]z_1[/mm] an b ergibt schliesslich den
> Punkt [mm]z_2.[/mm]
>
> Nun habe der Punkt [mm]z_i[/mm] den Polarwinkel [mm]\varphi_i[/mm]
Was ist denn ein Polarwinkel? Davon habe ich leider noch nie was gehört..
> (i=1,2,3). Ferner sei [mm]|z_0|=r.[/mm]
>
> Man kann nun die Beträge und die Polar-
> winkel von [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] mittels [mm]r\,,\varphi_0\,, \alpha[/mm] und
> [mm]\beta[/mm]
> ausdrücken.
> Der gesuchte Drehwinkel [mm]\Phi[/mm] ist dann
>
> [mm]\Phi\ =\ \varphi_2-\varphi_0[/mm]
>
Mir ist hier nicht klar, wie du das zusammengefasst hast..
LG Lucy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke schon mal für deine Hilfe.
>
> > Hallo Lucy,
> >
> > mach dir eine Zeichnung mit den beiden
> > Geraden a und b. Der Richtungswinkel
> > von a sei [mm]\alpha,[/mm] der von b sei [mm]\beta.[/mm]
> > Die zugehörigen Einheitsvektoren kann
> > man dann leicht darstellen.
>
> Ist dann a=cos[mm]\alpha[/mm] und b=cos[mm]\beta[/mm]?
Geraden sind doch keine reellen Zahlen?
was meinst du damit?
> >
> > Nun wählst du noch irgendwo einen
> > Punkt für eine Zahl [mm]z_0,[/mm] welche an a
> > gespiegelt den Punkt [mm]z_1[/mm] ergibt. Spiege-
> > lung von [mm]z_1[/mm] an b ergibt schliesslich den
> > Punkt [mm]z_2.[/mm]
> >
> > Nun habe der Punkt [mm]z_i[/mm] den Polarwinkel [mm]\varphi_i[/mm]
>
> Was ist denn ein Polarwinkel? Davon habe ich leider noch
> nie was gehört..
Wenn [mm] z=r*i^{i\phi} [/mm] ist [mm] \phi [/mm] der Polarwinkel. wenn du z als Pkt zeichnest ist es der Winkel des Pfeils von 0 nach z zur reellen Achse.
> > (i=1,2,3). Ferner sei [mm]|z_0|=r.[/mm]
> >
> > Man kann nun die Beträge und die Polar-
> > winkel von [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] mittels [mm]r\,,\varphi_0\,, \alpha[/mm]
> und
> > [mm]\beta[/mm]
> > ausdrücken.
> > Der gesuchte Drehwinkel [mm]\Phi[/mm] ist dann
> >
> > [mm]\Phi\ =\ \varphi_2-\varphi_0[/mm]
> >
>
> Mir ist hier nicht klar, wie du das zusammengefasst hast..
Hast du denn die Zeichnung gemacht und verfolgt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Lucy234 |
> > Ist dann a=cos[mm]\alpha[/mm] und b=cos[mm]\beta[/mm]?
> Geraden sind doch keine reellen Zahlen?
> was meinst du damit?
Ich meinte, dass cos[mm]\alpha[/mm] bzw cos[mm]\beta[/mm] die Richtungsvektoren sind. Ich hab die Parameter vergessen.
> Hast du denn die Zeichnung gemacht und verfolgt?
Ja und mit den Polarwinkeln ist mir jetzt auch klar, wie man auf den Drehwinkel kommt. Aber wie kann ich den Winkel denn in Abhängigkeit von den komplexen Zahlen ausdrücken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Sa 11.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh mal wieder die Frage nicht. Multiplikation mit der komplexen Zahl z heisst doch drehung um ihren Polarwinkel und Dehnung mit ihrem Betrag.
Gruss leduart
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> Ich meinte, dass cos[mm]\alpha[/mm] bzw cos[mm]\beta[/mm] die
> Richtungsvektoren sind. Ich hab die Parameter vergessen.
Hallo,
das ist ja auch abenteuerlich: cos[mm]\alpha[/mm] bzw cos[mm]\beta[/mm] sind doch Zahlen und keine Vektoren.
> Ja und mit den Polarwinkeln ist mir jetzt auch klar, wie
> man auf den Drehwinkel kommt. Aber wie kann ich den Winkel
> denn in Abhängigkeit von den komplexen Zahlen ausdrücken?
Das Ergebnis kennt man doch aus Kl.8: der Drehwinkel ist doppelt so groß wie der Winkel zwischen den Geraden, also das Doppelte der Differenz der beiden Polarwinkel Deiner komplexen Zahlen..
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Sa 11.07.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Wie peinlich, ich glaub ich stehe heute irgendwie neben mir.. Jetzt hab ich es aber. Vielen Dank euch allen
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Die Lösung könntest du übrigens noch so schreiben:
[mm] $\Phi\ [/mm] =\ [mm] 2*arg\left(\frac{e_b}{e_a}\right)$
[/mm]
wenn [mm] e_a [/mm] und [mm] e_b [/mm] die komplexen Zahlen sind, die
die Richtungen der Geraden a und b angeben.
LG und schönen Abend !
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