Drehungen und Spiegelungen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 21.07.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Ich dachte mir ich fasse hier mal zusammen, was ich über Spiegelungen und Drehungen rausgefunden habe und ihr sagt mir, obs stimmt und macht Verbesserungsvorschläge, ok? ;) Wär super!
Drehungen:
[mm] \varphi [/mm] Drehung [mm] \Leftrightarrow [/mm] det [mm] \varphi [/mm] = 1 [mm] \wedge A_{\varphi} \in [/mm] O(2) [mm] \Leftrightarrow A_{\varphi} [/mm] ist eigentlich orthogonal (das gilt für jede Dimension)
Spiegelungen:
- Jede Spiegelung ist uneigentlich orthogonal, d.h.
[mm] \varphi [/mm] Spiegelung [mm] \Rightarrow [/mm] det [mm] A_{\varphi} [/mm] = -1 und A [mm] \in [/mm] O(n) (die Umkehrung gilt nur im [mm] |R^2!!
[/mm]
- [mm] \varphi [/mm] hat nur die EW 1,-1 , dim(1, [mm] \varphi) [/mm] = n-1 [mm] \Leftrightarrow \varphi [/mm] Spiegelung
Die Spiegelachse ist immer der Eigenraum zum Eigenwert 1.
Die Drehachse ist ebenfalls immer der Eigenraum zum EW 1, die Drehebene ist der Orthogonalraum zur Drehachse.
Den Drehwinkel bestimme ich, indem ich mir einen Vektor aus der Drehebene nehme, diese abbilde und den Winkel von Vektor zum Bild ausrechne.
Ist das soweit alles richtig?
Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Di 22.07.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
> Drehungen:
> [mm]\varphi[/mm] Drehung [mm]\Leftrightarrow[/mm] det [mm]\varphi[/mm] = 1 [mm]\wedge A_{\varphi} \in[/mm]
> O(2) [mm]\Leftrightarrow A_{\varphi}[/mm] ist eigentlich orthogonal
> (das gilt für jede Dimension)
ja.
> Spiegelungen:
> - Jede Spiegelung ist uneigentlich orthogonal, d.h.
> [mm]\varphi[/mm] Spiegelung [mm]\Rightarrow[/mm] det [mm]A_{\varphi}[/mm] = -1 und A
> [mm]\in[/mm] O(n) (die Umkehrung gilt nur im [mm]|R^2!![/mm]
> - [mm]\varphi[/mm] hat nur die EW 1,-1 , dim(1, [mm]\varphi)[/mm] = n-1
> [mm]\Leftrightarrow \varphi[/mm] Spiegelung
>
> Die Spiegelachse ist immer der Eigenraum zum Eigenwert 1.
>
> Die Drehachse ist ebenfalls immer der Eigenraum zum EW 1,
wenn es überhaupt diesen Eigenwert gibt.
Andernfalls handelt es sich um eine Drehung um den Ursprung.
> die Drehebene ist der Orthogonalraum zur Drehachse.
> Den Drehwinkel bestimme ich, indem ich mir einen Vektor
> aus der Drehebene nehme, diese abbilde und den Winkel von
> Vektor zum Bild ausrechne.
>
> Ist das soweit alles richtig?
alles OK, soweit bezogen auf lineare Abbildungen, d.h. ohne Verschiebungsvektor.
Gruß
Will
|
|
|
|
