Drehungen - Eigenwerte und EV < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Hi!
Aufgabe: Zeigen, dass P Drehmatrix.
Berechnung der Drechachse und der Drehung
P= [mm] \bruch{1}{2} \pmat{ 1 & 0 & \wurzel{3} \\ 0 & 2 & 0 \\ -\wurzel{3} & 0 & 1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei der Aufgabe haenge ich im Moment ...
Dass P eine Drehmatrix ist kann man ja zeigen, indem man detP berechnet (det P=1) und [mm] P^{-1}*P=E. [/mm] Ist auch erfuellt. Also ist schonmal gezeigt, dass P eine Drehmatrix ist.
Wie berechne ich nun die Eigenwerte und den Eigenvektor?
Wenn P Drehmatrix ist, hat P die EW 1.
Aber wie berechne ich dieses?
Habe [mm] pa(\lambda)=P-E [/mm] gerechnet, kam auf
[mm] pa(\lambda)= \bruch{1}{2} \pmat{ 1-\lambda & 0 & \wurzel{3} \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ -\wurzel{3} & 0 & 1-\lambda}
[/mm]
Jetzt die Determinante ausrechnen.
[mm] pa(\lambda)=(1-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)+0+0-(((-\wurzel{3})(2-\lambda)(\wurzel{3}))-0-0
[/mm]
Und dann? Komme nicht wirklich weiter auch wenn die ganze Rechnerei bei der Drehmatrix eh nicht notwendig ist 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Sa 06.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tee
nimm die 1/2 in die Matrix.
dann siehst du direkt [mm] \wurzel{3}/2=sin60°; [/mm] 1/2=cos 60° und der Spaltenvektor (0,1,0) ist eigenvektor also Drehachse. Das istauch der Eigenvektor zum Eigenwert 1.
(in deiner FGl. kannst du ja [mm] (2-\lambda) [/mm] ausklammern, das ist dann ja [mm] (1-\lambda) [/mm] nachdem du ausmultipliziert hast.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Tea |
Hallo leduard!
Erstmal danke fuer die schnelle Antwort 
Aber deine Auführungen sind dann doch etwas schnell fuer mich...
Woher kommen diese Winkel-Beziehungen und das mit dem 1/2 in die Matrix ziehen hilft mir auch noch nicht wirklich weiter. Habe ich nicht dann
$ [mm] pa(\lambda)=(1/2)^{3}(1-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)+0+0-(1/2)^{3}(((-\wurzel{3})(2-\lambda)(\wurzel{3}))-0-0 [/mm] $
das waere doch dann
[mm] -(1/8)\lambda^{3}+ (1/2)\lambda^{2}-\lambda+1
[/mm]
?
Oder soll ich die Determinante gar nicht ausrechnen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 07.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tea
> Woher kommen diese Winkel-Beziehungen
Ein paar Werte der sin, cos und tan Funktion sollte man auswendig wissen, weil sie aus einfachen Dreiecken und Pythagoras stammen:
gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck, c=1 [mm] a=b=1/\wurzel{2} [/mm] daraus sin45=cos45 [mm] =1/\wurzel{2}, [/mm] tan45=1
halbes gleichseitiges Dreieck, a=b=c ; [mm] h=\wurzel{3}/2 [/mm] damit sin30=cos60=1/2 und sin60=cos30=1/2; tan [mm] 60=\wurzel{3}; tan30=1/\wurzel{3}
[/mm]
Also immer wenn [mm] \wurzel{2} [/mm] oder [mm] \wurzel{3} [/mm] im zusammenhang mit winkeln auftreten aufpassen! Ausserdem, wenn man vermutet, dass da ne Drehung steht, kann man das ja auch in den TR eintippen, und den Winkel ausrechnen!
>und das mit dem 1/2
> in die Matrix ziehen hilft mir auch noch nicht wirklich
> weiter. Habe ich nicht dann
>
> [mm]pa(\lambda)=(1/2)^{3}(1-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)+0+0-(1/2)^{3}(((-\wurzel{3})(2-\lambda)(\wurzel{3}))-0-0[/mm]
NEIN! [mm] det(k*A-\lambda*E)\ne \k^{n}*det(A-\lambda*E)
[/mm]
du müsstest ja k auch aus [mm] \lambda [/mm] "ausklammern"
> das waere doch dann
>
> [mm]-(1/8)\lambda^{3}+ (1/2)\lambda^{2}-\lambda+1[/mm]
Hier müsste dann überall statt [mm] \lambda \lambda/2 [/mm] stehen.
Multiplizier erst mal einfach aus, und bild dann das char. polynom!
> ?
>
> Oder soll ich die Determinante gar nicht ausrechnen?
Du musst nicht, aber wenn du nicht direkt siehst dass (0,1,0) Eigenv zum EW 1 ist, musst du das wohl.
Grundwissen sollte sein, dass eine Drehung im [mm] \IR^{2} [/mm] immer durch:
[mm] \pmat{ cos & sin \\-sin & cos} [/mm] beschrieben wird: Drehung um eine KOO Achse im [mm] \IR^{3} [/mm] macht daraus dieselbe Matrix, mit eingeschobener Drehachse, bei dir die x2- Achse.
Gruss leduart.
|
|
|
|
