Drehung einer Kurve < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Do 17.02.2005 | | Autor: | janko |
Hallo,
ich schreibe morgen eine Matheprüfung und hänge seit einiger Zeit an folgender Aufgabe fest.
Geben Sie die folgende Gleichung in x,y für die Koordinaten [mm] \tilde_x [/mm] und [mm] \tilde_y [/mm] nach einer Drehung des Koordinatensystems um 45°.
Gleichnung: [mm]x^2 - 6xy + 5y^2 = 32[/mm]
Da es eine Übungsaufgabe war ist die Lösung angegeben.
Sie lautet
[mm] \bruch{\tilde_x^2}{16}+\bruch{\tilde_y^2}{4}=1
[/mm]
Leider ist kein Lösungsweg angeben.
Mein Ansatz war bisher folgender:
Ich habe aus der Gleichung die Matrix H hergeleitet mit
[mm]a_{11}*x^2 + 2a_{12}*xy + a_{22}*y^2 + 2 * a_{1}*x + 2 * a_{2}*y + a_0[/mm]
[mm]\vektor{x & y & 1} * H * \vektor{x \\ y \\ 1}[/mm]
wobei [mm] H=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{1} \\ a_{12} & a_{22} & a_{2} \\ a_{1} & a_{2} & a_{0}}
[/mm]
Für [mm]x^2 - 6xy + 5y^2 = 32[/mm] wird H dabei zu [mm] H=\pmat{ 5 & -3 & 0 \\ -3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -32}
[/mm]
Nun habe ich H mit der Drehmatrix [mm] D=\pmat{ \cos 45 & -\sin 45 & 0 \\ \sin 45 & \cos 45 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] multiplizert und das neue H in die Gleichung [mm]\vektor{x & y & 1} * H * \vektor{x \\ y \\ 1}[/mm] eingesetzt.
Das Ergebnis der neuen Gleichung leutet [mm] \wurzel{2}(4x^2-3xy+y^2)-32=0 [/mm] was aber offensichltich nicht mit der Lösung übereinstimmt.
Mir fällt leider kein anderer Weg ein, hoffe jemand kann mir da weiterhelfen. Eine Lösungsansatz würde wahrscheinlich auch schon reichen :) hoffe ich zumindest
Vielen Dank
Janko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Do 17.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Janko
bist du sicher, dass deine Ausgangsgleichung stimmt?
Sollte die nicht eher heissen:
[mm] $5x^2-6xy+5y^2=32$?
[/mm]
Korrektur: [mm] $5x^2+6xy+5y^2=32$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Do 17.02.2005 | | Autor: | janko |
Danke für den Hinweis.
Die Funktion war tatsächlich falsch von mir abgetippt.
die richtige Funktion muss heißen:
[mm]5x^2-6xy+5y^2=32[/mm]
habe es in der Frage auch geändert.
Janko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Do 17.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber janko
ich traue der Lösung oder der Aufgabenstellung immer noch nicht!
> Hallo,
>
> ich schreibe morgen eine Matheprüfung und hänge seit
> einiger Zeit an folgender Aufgabe fest.
>
> Geben Sie die folgende Gleichung in x,y für die Koordinaten
> [mm]\tilde_x[/mm] und [mm]\tilde_y[/mm] nach einer Drehung des
> Koordinatensystems um 45°.
>
> Gleichnung: [mm]x^2 - 6xy + 5y^2 = 32[/mm]
Das soll nach deiner Mitteilung also sein:
[mm] $5x^2 [/mm] - 6xy + [mm] 5y^2 [/mm] = 32$
Dann glaube ich aber, dass das Koordinatensystem um -45° gedreht wird, also 45° im Uhrzeigersinn!
Bei einer Koordinatentransformation erfahren die Punkte die Inverse Abbildung. Statt das Koordinatensystem nach rechts zu drehen, kannst du einfach die Punkte nach links drehen (allgemein eben: die zur Koordinatentransformation inverse lineare Abbildung anwenden).
Die Abbildungsmatrix der Koordinatendrehung ist ja:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{1&1\\-1&1}$
[/mm]
(Drehung nach rechts um 45°)
Damit ist die inverse Matrix:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{1&-1\\1&1}$
[/mm]
Wendet man das jetzt auf [mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] an, so erhält man:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}*\pmat{1&1\\-1&1}\vektor{x\\y}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{x-y\\x+y}$
[/mm]
Damit kann jedes $x_$ der ursprünglichen Gleichung ersetzt werden durch [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}(x-y)$
[/mm]
Und jedes $y_$ durch [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}(x+y)$
[/mm]
Eine kleine Rechnung führt dann zur vorgegebenen Lösung.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Do 17.02.2005 | | Autor: | janko |
Hallo,
Danke für die Schnelle Antwort. Konnte endlich nachvollziehen was ich machen muss :)
Du hast Recht, irgendwie stimmt das mit den +45° nicht. Muss wirklich -45° sein. Anders kommt nicht die geforderte Lösung raus. Steht aber wirklich mit +45° in der Aufgabenstellung, die Gleichung stimmt auch. - habe gerade nochmal nachgeschaut.
wo du die Abbildung als Lösungsansatz erwähnt hattest vielen mir folgende Formeln ausm Tafelwerk ins Auge:
[mm]\tilde{x} = x*\cos \phi+y*\sin \phi[/mm] und
[mm]\tilde{y} = -x*\sin \phi+y*\cos \phi[/mm]
sagt ja das gleiche wie die Abbildungsmatrix aus.
[mm] \tilde{x} [/mm] und [mm] \tilde{y} [/mm] einsetzten und das ergebnis stimmt.
eigentlich gar nicht so schwer. bin bloß nicht darauf gekommen.
Vielen Dank nochmal & die Besten Wünsche!
Janko
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