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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Do 23.04.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | Welche Ungleichung erfüllen det(A) und tr(A) für eine reelle 2x2-Matrix A, die keine (reellen!) Eigenwerte besitzt?
Ist diese Bedingung für eine Drehstreckung
A = r [mm] \pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }
[/mm]
erfüllt? |
Kann mir da jemand zeigen, wo hier bei dieser Aufgabe der Hase im Pfeffer liegt?
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Hallo,
hier wird ein ähnliches Problem besprochen. Der Hase liegt sozusagen im charakteristischen Gleichungspfeffer  .
Also: die charakteristische Gleichung im allgemeinen enthält Spur und Determinante und ist eine quadratische Gleichung. Die Untersuchung deiner Frage führt also letztlich zur Frage, wann eine quadratische Gleichung keine Lösung hat, also wann der Radikand in der Lösungsformel kleiner als 0 wird.
Gruß,
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 23.04.2009 | | Autor: | Sacha |
Also du meinst es gelte
det(A-E [mm] \lambda)x [/mm] = [mm] x^{2}-tr(A)+det(A)=0 [/mm]
oder verstehe ich da was falsch? Aber ich muss doch eine Ungleichung finden? Wäre als der Radikant (so nennt ihr doch in Deutschland den Therm unter der Wurzel beim lösen von quadratischen Gleichungen oder?) irgendwie in dieser Ungleichung drin oder wie?
Könntest du mir noch ein wenig auf die Sprünge helfen? ^^
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> Also du meinst es gelte
>
> det(A-E [mm]\lambda)x[/mm] = [mm]x^{2}-tr(A)+det(A)=0[/mm]
Hallo,
das charakteristische Polynom ist det(A-E [mm][mm] \lambda).
[/mm]
Bei Dir spukt da ein x herum.
Wenn Du det(A-E [mm][mm] \lambda) [/mm] ausrechnest, sieht das ergebnis etwas anders aus als bei Dir:
det(A-E [mm][mm] \lambda)=[/mm] [mm][mm] \lambda^{2}-tr(A)\lambda+det(A).
[/mm]
Die Lösungen der quadraischen Gleichung [mm] \lambda^{2}-tr(A)\lambda+det(A)=0 [/mm] sind die Eigenwerte von A.
Wie lauten die beiden Lösungen, und unter welchen Umständen sind diese nichtreell? Guck hierfür unter die Wurzel.
> oder verstehe ich da was falsch? Aber ich muss doch eine
> Ungleichung finden? Wäre als der Radikant (so nennt ihr
> doch in Deutschland den Therm unter der Wurzel beim lösen
> von quadratischen Gleichungen oder?)
Ja. (Ist das eine deutsche Spezialität? Wie sagt Ihr?)
Das, was unter der Wurzel steht, nennt man bei quadratischen Gleichungen auch Diskriminante.
Gruß v. Angela
> irgendwie in dieser
> Ungleichung drin oder wie?
>
> Könntest du mir noch ein wenig auf die Sprünge helfen? ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 23.04.2009 | | Autor: | Sacha |
Ja Diskriminante nennen wir sie; Radikant habe ich zwar auch schon gehört ;)
Wieso kannst du denn das charakteristische Polynom so auffassen, als binomische Formel?
Also abgesehen von diesem Schritt, ist die Lösung zu meinem Problem, dass die Diskriminante unter null ist, d.h. die gesuchte ungleichung ist [mm] b^{2}-4ac?
[/mm]
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> Ja Diskriminante nennen wir sie; Radikant habe ich zwar
> auch schon gehört ;)
Hallo,
Radikant heißt alles, was unter eine Wurzel (=radix) steht, und dieser spezielle radikant bei der quadratischen Gleichung heißt Diskriminante.
>
> Wieso kannst du denn das charakteristische Polynom so
> auffassen, als binomische Formel?
???
Welche binomische Formel? Meinst Du die quadratische Gleichung?
Wir haben das charakteristische Polynom einer Matrix..
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.
Folglich muß man diese Nullstellen berechnen, wenn man die Eigenwerte wissen will.
>
> Also abgesehen von diesem Schritt, ist die Lösung zu meinem
> Problem, dass die Diskriminante unter null ist, d.h. die
> gesuchte ungleichung ist [mm]b^{2}-4ac?[/mm]
[mm] b^{2}-4ac [/mm] ist keine Ungleichung. Aber [mm] b^2-4ac<0 [/mm] ist eine Ungleichung, und wenn du hier passend die Spur und Determinante einsetzt, ist die Aufgabe gelöst.
Gruß v. Angela
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